Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-1}{{e}^{x}}，x≥a}\\{-x-1，x＜a}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-b，若存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（-$\frac{1}{{e}^{2}}$-1，2）．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，得出f（x）在各單調(diào)區(qū)間端點的函數(shù)值，根據(jù)零點個數(shù)判斷區(qū)間端點函數(shù)值的大小關(guān)系即可得出a的范圍．

解答 解：當(dāng)x＜a時，f（x）在（-∞，a）上是減函數(shù)，且f（x）＞-a-1．
當(dāng)x≥a時，f′（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
∴當(dāng)a≥2時，f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞減，此時g（x）=f（x）-b最多有兩個零點，不符合題意；
當(dāng)a＜2時，f（x）在[a，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，且f（a）=$\frac{a-1}{{e}^{a}}$，f（2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
若存在b，使g（x）=f（x）-b有三個零點，則f（2）＞-a-1，即$\frac{1}{{e}^{2}}$＞-a-1，
解得：-$\frac{1}{{e}^{2}}-1$＜a＜2．
故答案為：（-$\frac{1}{{e}^{2}}-1$，2）．

點評 本題考查了分段函數(shù)的零點個數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，屬于中檔題．