已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．
（Ⅰ）取PC的中點O，連接OF、OE．
∴FO∥DC，且FO=
1
2
DC
∴FO∥AE
又E是AB的中點．且AB=DC．
∴FO=AE．
∴四邊形AEOF是平行四邊形．
∴AF∥OE又OE?平面PEC，AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）連接AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角
在Rt△PAC中，tan∠PCA=
PA
AC
=
1
5
=
5
5
即直線PC與平面ABCD所成的角正切為
5
5

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長線于M．連接PM，
由三垂線定理，得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角
由△AME∽△CBE，可得AM=
2
2
，
∴tan∠PMA=
PA
AM
=
2

∴二面角P一EC一D的正切為
2
練習冊系列答案
相關習題

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如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若E、F分別是BC、DD1中點，則B1到平面ABF的距離為（　�。�
A．
3
3
B．
5
5
C．
5
3
D．
2
5
5

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

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如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB1=
2
，M是線段B1D1的中點．
（1）求證：BM∥平面D1AC；
（2）求三棱錐D1-AB1C的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

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（1）AE∥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面ACE．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別為AB、PC的中點；
（Ⅰ）求證：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：MN⊥CD．

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