分析 ( I)求出拋物線的$F({\frac{p}{2},0})$.利用$|{FP}|=3+\frac{p}{2}=|{FS}|$,則S(3+p,0),通過|PF|=|PS|,解得p=2.得到拋物線C的方程.
( II)( i)由( I)知F(1,0),設P(x0,y0),(x0y0≠0),S(xS,0)(xS>0),求出S(x0+2,0).得到直線PQ的斜率KPQ=$-\frac{{y}_{0}}{2}$.利用直線l1和直線PQ平行,設直線l1的方程為$y=-\frac{y_0}{2}x+b$,代入拋物線方程,求出$b=-\frac{2}{y_0}$.設E(xE,yE),求出kPE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$,可得直線PE的方程,表示出△OPE的面積,利用基本不等式求解三角形OPE的面積的最小值.
( ii)由( i)知$y_0^2≠4$時,直線PE的方程$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}({x-{x_0}})$,整理可得$y=\frac{{4{y_0}}}{y_0^2-4}({x-1})$,然后求解過點F(1,0).
解答 解:( I)由題意知$F({\frac{p}{2},0})$.xP=3,則$|{FP}|=3+\frac{p}{2}=|{FS}|$,
則S(3+p,0),或S(-3,0)(舍)則FS中點$({\frac{3p+6}{4},0})$.
因為|PF|=|PS|,則$\frac{3p+6}{4}=3$解得p=2.所以拋物線C的方程為y2=4x.…..(4分)
( II)( i)由( I)知F(1,0),設P(x0,y0),(x0y0≠0),S(xS,0)(xS>0),
因為|FP|=|FS|,則|xS-1|=x0+1,由xS>0得xS=x0+2,故S(x0+2,0).故直線PQ的斜率KPQ=$-\frac{{y}_{0}}{2}$.
因為直線l1和直線PQ平行,設直線l1的方程為$y=-\frac{y_0}{2}x+b$,代入拋物線方程
得${y^2}+\frac{8}{y_0}y-\frac{8b}{y_0}=0$,由題意$△=\frac{64}{y_0^2}+\frac{32b}{y_0}=0$,得$b=-\frac{2}{y_0}$.
設E(xE,yE),則yk=-$\frac{4}{{y}_{0}}$,xK=$\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$,
當y02≠4時,kPE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$,
可得直線PE的方程為$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}({x-{x_0}})$,
則O到直線PE的距離為$d=\frac{{|{\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}-1}}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+{{(\frac{y_0}{{{x_0}-1}})}^2}}}}=\frac{{|{y_0}|}}{{{x_0}+1}}$,
$|{PE}|=\sqrt{{{({x_0}-\frac{1}{x_0})}^2}+{{({y_0}+\frac{4}{y_0})}^2}}=\frac{{{{({x_0}+1)}^2}}}{x_0}$…..(6分)
所以,△OPE的面積${S_{△OPE}}=\frac{1}{2}|{PE}|×d=\frac{{|{y_0}|({x_0}+1)}}{x_0}=\frac{(y_0^2+4)}{{|{y_0}|}}=|{y_0}|+\frac{4}{{|{y_0}|}}>2$
當$y_0^2=4$時,S△OPE=2
所以,△OPE的面積有最小值,最小值為2.…..(9分)
( ii)由( i)知$y_0^2≠4$時,直線PE的方程$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}({x-{x_0}})$,
整理可得$y=\frac{{4{y_0}}}{y_0^2-4}({x-1})$,直線PE恒過點F(1,0).
當$y_0^2=4$時,直線PE的方程為x=1,過點F(1,0).…..(12分)
點評 本題考查拋物線方程的求法,直線與拋物線的位置關系的綜合應用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $3\sqrt{2}$ | B. | $\frac{3\sqrt{11}}{11}$ | C. | $\frac{{\sqrt{19}}}{19}$ | D. | $\frac{{3\sqrt{19}}}{19}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 若m∥α,n∥α,則m∥n | B. | 若m?α,n?α,m∥β,l∥β,則α∥β | ||
C. | 若α⊥β,m?α,則m⊥β | D. | 若α⊥β,m⊥β,m?α,則m∥α |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $[{-1,\frac{1}{2}})$ | B. | $({-1,\frac{1}{2}})$ | C. | $({0,\frac{1}{2}})$ | D. | (-∞,-1] |
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