1.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C上異于原點的任意一點,過點P的直線l交C于另一點Q,交x軸的正半軸于點S,且有|FP|=|FS|.當點P的橫坐標為3時,|PF|=|PS|.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若直線l1∥l,l1和C有且只有一個公共點E,
(。鱋PE的面積是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由;
(ⅱ)證明直線PE過定點,并求出定點坐標.

分析 ( I)求出拋物線的$F({\frac{p}{2},0})$.利用$|{FP}|=3+\frac{p}{2}=|{FS}|$,則S(3+p,0),通過|PF|=|PS|,解得p=2.得到拋物線C的方程.
( II)( i)由( I)知F(1,0),設P(x0,y0),(x0y0≠0),S(xS,0)(xS>0),求出S(x0+2,0).得到直線PQ的斜率KPQ=$-\frac{{y}_{0}}{2}$.利用直線l1和直線PQ平行,設直線l1的方程為$y=-\frac{y_0}{2}x+b$,代入拋物線方程,求出$b=-\frac{2}{y_0}$.設E(xE,yE),求出kPE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$,可得直線PE的方程,表示出△OPE的面積,利用基本不等式求解三角形OPE的面積的最小值.
( ii)由( i)知$y_0^2≠4$時,直線PE的方程$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}({x-{x_0}})$,整理可得$y=\frac{{4{y_0}}}{y_0^2-4}({x-1})$,然后求解過點F(1,0).

解答 解:( I)由題意知$F({\frac{p}{2},0})$.xP=3,則$|{FP}|=3+\frac{p}{2}=|{FS}|$,
則S(3+p,0),或S(-3,0)(舍)則FS中點$({\frac{3p+6}{4},0})$.
因為|PF|=|PS|,則$\frac{3p+6}{4}=3$解得p=2.所以拋物線C的方程為y2=4x.…..(4分)
( II)( i)由( I)知F(1,0),設P(x0,y0),(x0y0≠0),S(xS,0)(xS>0),
因為|FP|=|FS|,則|xS-1|=x0+1,由xS>0得xS=x0+2,故S(x0+2,0).故直線PQ的斜率KPQ=$-\frac{{y}_{0}}{2}$.
因為直線l1和直線PQ平行,設直線l1的方程為$y=-\frac{y_0}{2}x+b$,代入拋物線方程
得${y^2}+\frac{8}{y_0}y-\frac{8b}{y_0}=0$,由題意$△=\frac{64}{y_0^2}+\frac{32b}{y_0}=0$,得$b=-\frac{2}{y_0}$.
設E(xE,yE),則yk=-$\frac{4}{{y}_{0}}$,xK=$\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$,
當y02≠4時,kPE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$,
可得直線PE的方程為$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}({x-{x_0}})$,
則O到直線PE的距離為$d=\frac{{|{\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}-1}}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+{{(\frac{y_0}{{{x_0}-1}})}^2}}}}=\frac{{|{y_0}|}}{{{x_0}+1}}$,
$|{PE}|=\sqrt{{{({x_0}-\frac{1}{x_0})}^2}+{{({y_0}+\frac{4}{y_0})}^2}}=\frac{{{{({x_0}+1)}^2}}}{x_0}$…..(6分)
所以,△OPE的面積${S_{△OPE}}=\frac{1}{2}|{PE}|×d=\frac{{|{y_0}|({x_0}+1)}}{x_0}=\frac{(y_0^2+4)}{{|{y_0}|}}=|{y_0}|+\frac{4}{{|{y_0}|}}>2$
當$y_0^2=4$時,S△OPE=2
所以,△OPE的面積有最小值,最小值為2.…..(9分)
( ii)由( i)知$y_0^2≠4$時,直線PE的方程$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}({x-{x_0}})$,
整理可得$y=\frac{{4{y_0}}}{y_0^2-4}({x-1})$,直線PE恒過點F(1,0).
當$y_0^2=4$時,直線PE的方程為x=1,過點F(1,0).…..(12分)

點評 本題考查拋物線方程的求法,直線與拋物線的位置關系的綜合應用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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