Question

（本小題滿分12分）設函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的最大值；

（2）令其圖象上任意一點處切線的斜率，恒成立,求實數(shù)的取值范圍；

（3）當,，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）當時，，可以通過導數(shù)判斷的單調(diào)性，已知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而的極大值為,此即為最大值；（2）由題意可得，則問題等價于在上，恒成立，即在上恒成立，∴；（3）問題等價于方程有唯一實數(shù)解，構造函數(shù)，考慮通過判斷其單調(diào)性，從而可得，可進一步設函數(shù),由是增函數(shù),可知至多有一解，又由,故的極小值點即為,即,解得．

試題解析：（1）依題意，知的定義域為，當時，, ，令，解得，

∴當時,，此時單調(diào)遞增； 當時,,此時單調(diào)遞減，

∴的極大值為,此即為最大值；

（2）,則有，在上恒成立，

∴,，當時,取得最大值,∴；

（3）∵方程有唯一實數(shù)解,∴有唯一實數(shù)解,

設,則，

令,，

∵，∴（舍去）,,

當時,,在上單調(diào)遞減,

當時,,在上單調(diào)遞增,

當時,,取最小值，

則 即 ，

∴，∵，∴，

設函數(shù),∵當時,是增函數(shù),∴至多有一解，

∵,∴方程（*）的解為,即,解得．

考點：1．通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2．恒成立問題．