Question

3．已知函數(shù)f（x）（x∈R，且x≠1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，當(dāng)x＞1時(shí)f（x）=log_a（x-1），且f（3）=-1，則不等式f（x）＞1的解集是（　�。�

• A． $（-3，\frac{3}{2}）$
• B． $（-∞，-3）∪（\frac{3}{2}，+∞）$
• C． $（-∞，-1）∪（\frac{3}{2}，+∞）$
• D． $（-∞，-1）∪（1，\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 由題意，f（x）=-f（2-x），當(dāng)x＞1時(shí)f（x）=log_a（x-1），且f（3）=-1，log_a2=-1，可得a=$\frac{1}{2}$，分類討論，解不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，f（x）=-f（2-x），
∵當(dāng)x＞1時(shí)f（x）=log_a（x-1），且f（3）=-1，
∴l(xiāng)og_a2=-1，∴a=$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，不等式f（x）＞1可化為$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1）＞1，∴1＜x＜$\frac{3}{2}$，
x＜1時(shí)，2-x＞1時(shí)，不等式f（x）＞1可化為-$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（1-x）＞1，∴x＜-1
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．