求曲線y=
x
（0≤x≤4）上的一條切線，使此切線與直線x=0，x=4以及曲線y=
x
所圍成的平面圖形的面積最小．
考點：定積分在求面積中的應用
專題：計算題,導數(shù)的概念及應用
分析：先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線y=
x
（0≤x≤4）上任一點處的切線方程，再求出積分的上下限，然后利用定積分表示出圖形面積，最后利用定積分的定義進行求解即可．
解答： 解：設（x0，y0）為曲線y=
x
（0≤x≤4）上任一點，得曲線于該點處的切線方程為：y-y0=
1
2
x0
(x-x0)即y=
y0
2
+
x
2
x0
．
得其與x=0，x=4的交點分別為(0，
y0
2
)，(4，
y0
2
+
2
y0
)
于是由此切線與直線x=0，x=4以及曲線y=
x
所圍的平面圖形面積為：S=
∫
4
0
(
y0
2
+
x
2
x0
-
x
)dx=2y0+
4
x0
-
16
3
=2
x0
+
4
x0
-
16
3

應用均值不等式求得x0=2時，S取得最小值．
即所求切線即為：y=
x
2
2
+
2
2
．
點評：本題主要考查了定積分在求面積中的應用，以及利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，同時考查了利用定積分求圖形面積的能力．應用定積分求平面圖形面積時，積分變量的選取是至關重要的，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（ex-1）（x＞0）（　�。�
A、若f（a）+2a=f（b）+3b，則a＞b
B、若f（a）+2a=f（b）+3b，則a＜b
C、若f（a）-2a=f（b）-3b，則a＞b
D、若f（a）-2a=f（b）-3b，則a＜b

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：y=f（x），f（x-1）的定義域為（-3，1），求f（x+1）的定義域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）+x是偶函數(shù)，且f（2）=1，則f（-2）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）在△ABC中，∠B=30°，且a=2
3
，b=2，解此三角形．
（2）在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，c=10，解此三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=x m2-1（m∈Z）圖象與x，y軸無交點且關于原點對稱，求：
（1）函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)F（x）=a
f2(x)
-
b
f(x)
的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知tan（π+α）=3．求：
（1）
2cos(π-α)-3sin(π+α)
4cos(-α)+sin(2π-α)
；
（2）sin2α-sin(α+
3π
2
)cos(α+
π
2
)+2；
（3）
1
1+sin(α+π)cos(α-π)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=2x2-2x+3的單調增區(qū)間為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義運算：a*b=
a(a≤b)
b(a＞b)
．若f（x）=sinx*cosx，則下列命題正確有
 
．（寫出所有正確命題的序號）
①f（
π
3
）=
3
2

②f（x）的值域為[-1，1]
③f（x）的最小正周期為2π 
④f（x）在[
π
2
，π]上單調遞減
⑤f（x）關于x=
π
4
軸對稱．

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