已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1．
（1）雙曲線與橢圓C具有相同的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，求雙曲線的方程；
（2）設橢圓C的右焦點為F2，A、B是橢圓上的點，且
AF2
=2
F2B
，求直線AB的斜率．
分析：（1）根據(jù)橢圓方程求得其焦點坐標和離心率，進而可得雙曲線的焦點坐標和離心率，求得雙曲線的長半軸和短半軸的長，進而可得雙曲線的方程．
（2）設A（x1，y1），由
AF2
=2
F2B
得出B的坐標表示，再由A，B兩點在橢圓上，得出關于x1，y1的方程，解得x1，y1最后利用直線的斜率公式即可．
解答：解：（1）由已知，橢圓的焦點坐標為（-1，0），（1，0），離心率為
1
2
，
所以所求雙曲線焦點坐標為（-1，0），（1，0），離心率為2，…（2分）
雙曲線c=1， 
c
a
=2，解得a2=
1
4
， b2=
3
4
，
所求雙曲線方程為4x2-
4y2
3
=1．…（4分）
（2）設A（x1，y1），由
AF2
=2
F2B
得B(
3-x1
2
，-
y1
2
)，…（5分）
由A，B兩點在橢圓上，得
x12
4
+
y12
3
=1，
(3-x1)2
4
+
y12
3
=4，…（8分）
解得x1=-
1
2
，y1=±
3
4
5
，…（10分）
所以k=
y1
x1-1
=±
5
2
．…（12分）
點評：本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)和橢圓的標準方程．要記住雙曲線和橢圓的定義和性質(zhì)，解答直線AB的斜率的關鍵是利用方程組思想．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知橢圓C：
x2
4
+y2=1．
（1）過橢圓C的右焦點作一條垂直于x軸的垂軸弦MN，求MN的長度；
（2）若點P是橢圓C上不與頂點重合的任意一點，MN是橢圓C的短軸，直線MP、NP分別交x軸于點E（xE，0）和點F（xF，0）（如圖），求xE?xF的值；
（3）在（2）的基礎上，把上述橢圓C一般化為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，MN是任意一條垂直于x軸的垂軸弦，其它條件不變，試探究xE?xF是否為定值？（不需要證明）；請你給出雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)中相類似的結論，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x24
+y2=1，直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點．
（1）試探究：點O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
（2）求△AOB面積S的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)一模）已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1和點P（4，0），垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，連結PB交橢圓C于另一點E．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點坐標和離心率；
（Ⅱ）證明直線AE與x軸相交于定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，直線l與橢圓C相交于A、B兩點，
OA
•
OB
=0（其中O為坐標原點）．
（1）試探究：點O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）如圖1，已知定點F1（-2，0）、F2（2，0），動點N滿足|
ON
|=1（O為坐標原點），
F1M
=2
NM
，
MP
=λ
MF2
（λ∈R），
F1M
•
PN
=0，求點P的軌跡方程．
精英家教網(wǎng)
（2）如圖2，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓上，且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N，
（�。┰O直線AP、BP的斜率分別為k1、k2，求證：k1•k2為定值；
（ⅱ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點？請證明你的結論．

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