為了對某校高三(1)班9月調(diào)考成績進(jìn)行分析,在全班同學(xué)中隨機(jī)抽出5位,他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)(已折算為百分制)從小到大排列為75、80、85、90、95,物理分?jǐn)?shù)從小到大排列為 73、77、80、87、88.
(I)求這5位同學(xué)中恰有2位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)都不小于85分的概率;
(II)若這5位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)事實上對應(yīng)如下表:
從散點圖分析,y與x,z與x之間都有較好的線性相關(guān)關(guān)系,分別求y與x,z與x的線性回歸方程,并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的擬合效果.
參考數(shù)據(jù):
.
x
=85,
.
y
=81,
.
z
=86
,
5
i=1
(xi-
.
x
)
2=250,
5
i=1
(yi-
.
y
2
=166
5
i=1
(zi-
.
z
2
=100
,
5
i=1
 (xi-
.
x
)(yi-
.
y
)  =200
,
5
i=1
 (xi-
.
x
)(zi-
.
z
)  =150
分析:(I)先則需要先從數(shù)學(xué)的3個不小于85分?jǐn)?shù)中選出2個與2個物理不小于85分?jǐn)?shù)對應(yīng)的種數(shù),然后將剩下的3個數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對應(yīng)的種數(shù),最后根據(jù)乘法原理問題得解;
(II)根據(jù)最小二乘法計算可得回歸方程
y
=b
x
+a
中的b和a,回歸直線方程即得,通過相關(guān)指數(shù)R2的計算可以得到回歸方程的擬合程度.
解答:解:(I)這5位同學(xué)中恰有2位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為不小于85分,
則需要先從數(shù)學(xué)的3個不小于85分?jǐn)?shù)中選出2個與2個物理不小于85分?jǐn)?shù)對應(yīng),
種數(shù)是C32A22(或A32),然后將剩下的3個數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對應(yīng),種數(shù)是A33
據(jù)乘法原理,滿足條件的種數(shù)是C32A22A33. (2分)
這5位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對應(yīng)的種數(shù)共有A55. (5分)
故所求的概率P=
C
2
3
A
2
2
A
3
3
A
5
5
=
3
10
. (4分)
(II)設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是
?
y
=bx+a
?
z
=b′x+a′

根據(jù)所給的數(shù)據(jù),可以計算出b=
200
250
=0.8,a=81-0.8×85=13
,b′=
150
250
=0.6,a′=86-0.6×85=35
.(8分)
所以y與x和z與x的回歸方程分別是
?
y
=0.6x+13
、
?
z
=0.6x+35
.(11分)
5
i=1
(yi-
y
i)2=02+02+(-1)2+22+(-1)2=6,
5
i=1
(zi-
z
i)2=(-2)2+22+12+02+(-1)2=10,
又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是R2=1-
6
166
≈0.964
R2=1-
10
100
≈0.90
. (11分)
故回歸模型
?
y
=0.6x+13
比回歸模型
?
z
=0.6x+35
的擬合的效果好.(12分)]
點評:本題考查組合及運算、概率、相關(guān)系數(shù)的運算、回歸直線方程的求法和回歸模型的擬合效果判斷等多方面知識和方法.本題綜合性強,所用知識、方法眾多,將回歸分析的相關(guān)知識的考查發(fā)揮到了極致,盡管已知中提供了大量的數(shù)據(jù),但計算量仍然很大,如相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)的計算、最小二乘法的使用等等,這會使計算過程容易出錯;就本題的題意而言,思路清晰、方向明確,找到解題的途徑并不難.
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組號 分組 頻數(shù) 頻率
第1組 [90,100) 15
第2組 [100,110) 0.35
第3組 [110,120) 20 0.20
第4組 [120,130) 20 0.20
第5組 [130,140) 10 0.10
合計 100 1.00
(1)求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)的數(shù)據(jù);
(2)為了選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生參加即將舉行的數(shù)學(xué)競賽,學(xué)校決定在成績較高的第3、4、5組中分層抽樣取5名學(xué)生,則第4、5組每組各抽取多少名學(xué)生?
(3)為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,學(xué)校又在這5名學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行訪談,求第4組中至少有一名學(xué)生被抽到的概率是多少?

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為了對某校高三(1)班9月調(diào)考成績進(jìn)行分析,在全班同學(xué)中隨機(jī)抽出5位,他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)、物理分?jǐn)?shù)、化學(xué)分?jǐn)?shù)(均已折算為百分制)對應(yīng)如下表:
學(xué)生編號 1 2 3 4 5
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x 75 80 85 90 95
物理分?jǐn)?shù)y 73 77 80 87 88
化學(xué)分?jǐn)?shù)z 78 85 87 89 91
(I)求這5位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)都不小于85分的概率;
(II)從散點圖分析,y與x、x與x之間都有較好的線性相關(guān)關(guān)系,分別求y與x、z與x的線性回歸方程,并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的擬合效果.

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(I)求這5位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)都不小于85分的概率;
(II)從散點圖分析,y與x、x與x之間都有較好的線性相關(guān)關(guān)系,分別求y與x、z與x的線性回歸方程,并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的擬合效果.

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(I)求這5位同學(xué)中恰有2位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)都不小于85分的概率;
(II)若這5位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)事實上對應(yīng)如下表:
從散點圖分析,y與x,z與x之間都有較好的線性相關(guān)關(guān)系,分別求y與x,z與x的線性回歸方程,并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的擬合效果.
參考數(shù)據(jù):2=250,,,

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同步練習(xí)冊答案
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