Question

20．已知兩矩形ABCD與ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，若將△DEF沿直線(xiàn)FD翻折，使得點(diǎn)E落在邊BC上（即點(diǎn)P），則當(dāng)AD取最小值時(shí)，邊AF的長(zhǎng)是$\sqrt{2}$；此時(shí)四面體F-ADP的外接球的半徑是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知中矩形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，將△DEF沿FD翻折，翻折后的點(diǎn)E恰與BC上的點(diǎn)P重合．設(shè)AB=1，F(xiàn)A=x（x＞1），AD=y，我們利用勾股定理分別求出BP，PC，根據(jù)BC=BP+PC，可以得到 x，y的關(guān)系式，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．四面體F-ADP的外接球的球心為DF的中點(diǎn)，即可求出四面體F-ADP的外接球的半徑．

解答 解：設(shè)FA=x（x＞1），AD=y，
∵矩形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，F(xiàn)A=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，F(xiàn)A=DE=DP=x
在Rt△DCP中，PC=$\sqrt{{x}^{2}-1}$
在Rt△FAP中，AP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$
在Rt△ABP中，BP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$
∵BC=BP+PC=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=y
整理得y²=$\frac{{x}^{4}}{{x}^{2}-1}$，令x²=$\frac{1}{t}$
則y²=$\frac{1}{-{t}^{2}+t}$，
則當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$時(shí)，y取最小值2．
四面體F-ADP的外接球的球心為DF的中點(diǎn)，DF=$\sqrt{2+4}$=$\sqrt{6}$，四面體F-ADP的外接球的半徑是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算，由于本題是幾何與代數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，運(yùn)算量比較大，而且得到的x，y的關(guān)系比較復(fù)雜，因此要用換元法，簡(jiǎn)單表達(dá)式．