Question

已知函數f（x）=2cosxsinx+2cos²x-．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的最大值和最小值及相應的x的值；
（3）求函數f（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式進行化簡整理求得f（x）=2sin（2x+），進而利用正弦函數的性質求得函數的最小正周期．
（2）根據（1）中的函數的解析式，和正弦函數的性質可求得函數的最大和最小值，同時可求得函數取最大和最小值時x的值．
（3）根據正弦函數的單調性求得函數遞增時2x+的范圍，進而求得x的范圍，則函數的單調性增區(qū)間可得．
解答：解：（1）原式=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）
=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+）
∴函數f（x）的最小正周期為π

（2）當2x+=2kπ+時，即：x=kπ+（k∈Z），f（x）有最大值2
當2x+=2kπ-時，即：x=kπ-（k∈Z），f（x）有最小值-2

（3）要使f（x）遞增，必須使2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）
解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）
∴函數f（x）的遞增區(qū)間為：[kπ-，kπ+]（k∈Z）
點評：本題主要考查了三角函數周期性及其求法，二倍角公式和兩角和公式的化簡求值．考查了學生對三角函數基礎知識的綜合運用．