Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x-2x
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設g（x）=f（2x）-4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：對第（Ⅰ）問，直接求導后，利用基本不等式可達到目的；
對第（Ⅱ）問，先驗證g（0）=0，只需說明g（x）在[0+∞）上為增函數(shù)即可，從而問題轉(zhuǎn)化為“判斷g'（x）＞0是否成立”的問題．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e^x+e^-x-2≥2

ex•e-x

-2=0，
即f'（x）≥0，當且僅當e^x=e^-x即x=0時，f'（x）=0，
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；
（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，
則g'（x）=2[e^2x+e^-2x-2b（e^x+e^-x）+（4b-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2b（e^x+e^-x）+（4b-4）]
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x-2b+2）．
①∵e^x+e^-x≥2，e^x+e^-x+2≥4，
∴當2b≤4，即b≤2時，g'（x）≥0，當且僅當x=0時取等號，
從而g（x）在R上為增函數(shù)，而g（0）=0，
∴x＞0時，g（x）＞0，符合題意．
②當b＞2時，若x滿足2＜e^x+e^-x＜2b-2即0＜x＜ln（b-1+

b2-2b

）時，g'（x）＜0，
又由g（0）=0知，當0＜x≤ln（b-1+

b2-2b

）時，g（x）＜0，不符合題意．
綜合①、②知，b≤2，得b的最大值為2．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和求極值、最值，考查分類討論的思想方法和運算求解能力，屬于中檔題和易錯題．