【題目】如圖,點(diǎn)F1 , F2分別是橢圓C:的左、右焦點(diǎn).點(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn),點(diǎn)B是直線(xiàn)AF2與橢圓C的另一交點(diǎn),且滿(mǎn)足AF1⊥x軸,∠AF2F1=30°.
(1)求橢圓C的離心率e;
(2)若△ABF1的周長(zhǎng)為4 , 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)若△ABF1的面積為8 , 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】解:(1)Rt△AF1F2中,∵∠AF2F1=30°,
,
,代入并利用b2=a2﹣c2化簡(jiǎn)整理,
得3a4﹣2a2c2﹣3c4=0,即(a2﹣3c2)(3a2﹣c2)=0,
∵a>c,
∴a=c,
∴e==
(2)由橢圓定義知AF1+AF2=BF1+BF2=2a,
∴△ABF1的周長(zhǎng)為4a,
∴4a=4,則a=,b=,
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(3)由(1)知a=c,則b=c,
于是橢圓方程可化為,即2x2+3y2=6c2
設(shè)直線(xiàn)AF2的方程為y=(x-c),代入2x2+3y2=6c2化簡(jiǎn)整理得3x2﹣2cx﹣5c2=0,
∴x=﹣c或x=c,
則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為c,
∴點(diǎn)B到直線(xiàn)AF1的距離為c-(-c)=c
∴△ABF1的面積為
解得c=3,
∴a=3,b=3
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【解析】(1)通過(guò)求解直角三角形得到A的坐標(biāo),代入橢圓方程整理,結(jié)合隱含條件求得橢圓C的離心率e;
(2)通過(guò)橢圓定義結(jié)合三角形的周長(zhǎng)及隱含條件求得答案;
(3)由(1)得到a與c,b與c的關(guān)系,設(shè)直線(xiàn)AF2的方程為y=(x-c),代入2x2+3y2=6c2化簡(jiǎn)整理,求得B的坐標(biāo),再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式結(jié)合三角形面積求得答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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)求函數(shù)的解析式;

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專(zhuān)業(yè)

專(zhuān)業(yè)

總計(jì)

女生

12

4

16

男生

38

46

84

總計(jì)

50

50

100

(Ⅰ)從專(zhuān)業(yè)的女生中隨機(jī)抽取2名女生參加某項(xiàng)活動(dòng),其中女生甲被選到的概率是多少?

(Ⅱ)能否有95%的把握認(rèn)為工科院校中“性別”與“專(zhuān)業(yè)”有關(guān)系?

附:

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A.
B.
C.
D.

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