(Ⅰ)求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l與△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),求·的取值范圍.
解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)C(x,y)、G(x0,y0),則++=用坐標(biāo)表示為(x-3x0,y-3y0)=0,從而x=3x0,y=3y0,G為△ABC的重心;由||=||和∥可知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,y0),結(jié)合||=||可得1+y02=x2+(y-y0)2,整理即x2+=1,由于C(x,y)不能與AB共線(否則不能構(gòu)成三角形),故頂點(diǎn)C的軌跡方程是x2+=1(y≠0);
(Ⅱ)直線l的斜率為k(k≠0),則方程為y=k(x-2),與x2+=1聯(lián)立可得(3+k2)x2-4k2x+4k2-3=0,其判別式Δ=36(1-k2)>0,所以-1<k<1(k≠0),設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),由韋達(dá)定理得x1+x2=,x1x2=,y1=k(x1-2),從而·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(1+k2)[x1x2-2(x1+x2)+4]=9(1-),因?yàn)?<k2<1,則·=9(1-)∈(3,),·的取值范圍是(3,).
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