Question

17．根據(jù)下列條件，分別寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有公共焦點(diǎn)，且過(guò)M（3，-2）；
（2）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)$A（{\sqrt{3}，-2}）$和$B（{-2\sqrt{3}，1}）$．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義求出a，可得b，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用待定系數(shù)法，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$±\sqrt{5}$，0），
∵橢圓過(guò)M（3，-2），
∴2a=$\sqrt{（3+\sqrt{5}）^{2}+4}$+$\sqrt{（3-\sqrt{5}）^{2}+4}$=2$\sqrt{15}$，
∴a=$\sqrt{15}$，b=$\sqrt{10}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{10}=1$；
（2）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）．
∵橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)$A（{\sqrt{3}，-2}）$和$B（{-2\sqrt{3}，1}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3m+4n=1}\\{12m+n=1}\end{array}\right.$，∴m=$\frac{1}{15}$，n=$\frac{1}{5}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{5}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查橢圓的定義，屬于中檔題．