請考生注意:重點高中學生做(2)(3).一般高中學生只做(1)(2).
已知函數(shù)數(shù)學公式
(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)當a>0時,討論f(x)的單調性;
(3)當數(shù)學公式時,設g(x)=x2-bx+1,若對任意x1∈(0,2],都存在x2∈(0,2],都存在x2∈[1,2]使f(x1)≤g(x2),求實數(shù)b的取值范圍.

解:(1)∵函數(shù)
∴f′(x)=
∵曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,
∴f′(1)=f′(3),

∴6-8a=0
∴a=;
(2)若a=1時,,∴x∈(0,1),f′(x)>0,x∈(1,+∞),f′(x)<0
∴y=f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù);
若a≠1時,令f′(x)=0,可得x1=1,x2=
①若,則a≥1,∴x∈(0,1),f′(x)>0,x∈(1,+∞),f′(x)<0
∴y=f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù);
②若0,即0<a<1時
(Ⅰ)0<時,1,在(0,),(1,+∞)上為增函數(shù),在(,1)上為減函數(shù)
(Ⅱ)時,在(0,1),(,+∞)上為增函數(shù),在(1,)上為減函數(shù)
(Ⅲ)時,f′(x)>0恒成立,則f(x)在(0,+∞)上恒為增函數(shù).
(3)當時,由(1)知,函數(shù)在 (0,1)是增函數(shù),在(1,2)是減函數(shù)
∴f(x)在(0,2]的最大值為f(1)=-
若對任意x1∈(0,2],都存在x2∈(0,2],都存在x2∈[1,2]使f(x1)≤g(x2),等價于函數(shù)f(x)在(0,2]的最大值-不大于g(x)在[1,2]的最大值
下面求g(x)=x2-bx+1在[1,2]上的最大值
∵g(x)=x2-bx+1的對稱軸是直線
①當,即b≤3時,g(x)在[1,2]為增函數(shù),則g(x)max=g(2)=5-2b,
,∴b≤,滿足b≤3;
②當,即b>3時,g(x)在[1,2]為減函數(shù),則g(x)max=g(1)=2-b,
,∴b≤,∴3<b≤,
綜上,實數(shù)b的取值范圍為b≤
分析:(1)求導數(shù),利用曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,即可求得a的值;
(2)若a=1時,利用導數(shù)的正負可得y=f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù);
若a≠1時,令f′(x)=0,可得x1=1,x2=,結合函數(shù)的定義域分類討論,即可求得結論;
(3)當時,f(x)在(0,2]的最大值為f(1)=-,若對任意x1∈(0,2],都存在x2∈(0,2],都存在x2∈[1,2]使f(x1)≤g(x2),等價于函數(shù)f(x)在(0,2]的最大值-不大于g(x)在[1,2]的最大值,利用配方法確定函數(shù)g(x)=x2-bx+1在[1,2]上的最大值,即可得到實數(shù)b的取值范圍.
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調性,考查分類討論的數(shù)學思想,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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已知P是圓F1:(x+1)2+y2=16上任意一點,點F2的坐標為(1,0),直線m分別與線段F1P、F2P交于M、N兩點,且
MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
),|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|

(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)斜率為k的直線l與曲線C交于P、Q兩點,若
OP
OQ
=0
(O為坐標原點).試求直線l在y軸上截距的取值范圍;
(3)是否存在斜率為
1
2
的直線l與曲線C交于P、Q兩點,使得
OP
OQ
=0
(O為坐標原點),若存在求出直線l的方程,否則說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

請考生注意:重點高中學生做(2)(3).一般高中學生只做(1)(2).
已知函數(shù)f(x)=(1-a)x-lnx-
a
x
-1(a∈R)

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3
4
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=
1
2
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+
MP
),|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|

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=0
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1
2
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OP
OQ
=0
(O為坐標原點),若存在求出直線l的方程,否則說明理由.

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