請考生注意：重點高中學(xué)生只做（1）、（2）兩問，一般高中學(xué)生只做（1）、（3）兩問．
已知P是圓F1：(x+1)2+y2=16上任意一點，點F2的坐標(biāo)為（1，0），直線m分別與線段F1P、F2P交于M、N兩點，且
MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
)，|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）斜率為k的直線l與曲線C交于P、Q兩點，若
OP
•
OQ
=0（O為坐標(biāo)原點）．試求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（3）是否存在斜率為
1
2
的直線l與曲線C交于P、Q兩點，使得
OP
•
OQ
=0（O為坐標(biāo)原點），若存在求出直線l的方程，否則說明理由．
分析：（1）根據(jù)題意，可得MN是線段PF2的垂直平分線，所以點M的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓，結(jié)合題中數(shù)據(jù)不難得到軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+n，與橢圓方程聯(lián)解消去y，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系將
OP
•
OQ
=0化為關(guān)于k、n的表達式，整理得12k2=7n2-12，最后用根的判別式建立不等式并解之，即可得到直線l在y軸上截距的取值范圍；
（3）設(shè)直線l的方程為y=
1
2
x+n，與橢圓方程聯(lián)解消去y，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系將
OP
•
OQ
=0化為關(guān)于k、n的表達式，整理得n2=
15
7
，結(jié)合根的判別式大于0，即可得n=±
105
7
，從而得到符合題意的直線l的方程．
解答：解：（1）∵
MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
)，∴點N是線段PF2的中點
∵|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|，
∴(
NM
+
F2P
)2=(
NM
-
F2P
)2，化簡可得
NM
•
F2P
=0 
∴NM⊥PF2，可得MN是線段PF2的垂直平分線
∴
|MF2|
=
|MP
|，可得
|MF1|
+
|MF2|
=
|PF1|
=4
因此，點M的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓，長軸2a=4，焦距2c=1，可得b2=a2-c2=3
橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1，即為點M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+n，與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1消去y，得（3+4k2）x2+8knx+4n2-12=0
可得根的判別式△=64k2n2-16（3+4k2）（4n2-12）＞0，化簡得4k2-n2+3＞0…①
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=-
8kn
3+4k2
，x1x2=
4n2-12
3+4k2

∵
OP
•
OQ
=0
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（k1x+n）（k2x+n）=0，（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2=0
∴-
8kn
3+4k2
（1+k2）+
4n2-12
3+4k2
•kn+n2=0，整理得12k2=7n2-12…②
①②聯(lián)解，得n2≥
4
3
，再由②知7n2≥12，可得n≤-
2
7
21
或n≥
2
7
21

故直線l在y軸上截距的取值范圍是（-∞，-
2
7
21
]∪[
2
7
21
，+∞）
（2）設(shè)直線l的方程為y=
1
2
x+n，與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1消去y，得x2+nx+n2-3=0
可得根的判別式△=n2-4（n2-3）＞0，化簡得n2＜4…①
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=-n，x1x2=n2-3
∵
OP
•
OQ
=0
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（
1
2
x+n）（
1
2
x+n）=0，
5
4
x1x2+
1
2
n（x1+x2）+n2=0
∴
5
4
（n2-3）+
1
2
n（-n）+n2=0，整理得n2=
15
7
…②
對照①②可得，n=±
105
7

所以存在直線l的方程：y=
1
2
x+
105
7
或y=
1
2
x-
105
7
，使得
OP
•
OQ
=0．
點評：本題以向量的運算為載體，求曲線的軌跡方程，并且探索直線的存在性，著重考查了向量的數(shù)量積運算、求軌跡方程的一般方法和直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

請考生注意：重點高中學(xué)生做（2）（3）．一般高中學(xué)生只做（1）（2）．
已知函數(shù)f(x)=(1-a)x-lnx-
a
x
-1(a∈R)
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=
3
4
時，設(shè)g（x）=x2-bx+1，若對任意x1∈（0，2]，都存在x2∈（0，2]，都存在x2∈[1，2]使f（x1）≤g（x2），求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

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已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)數(shù)學(xué)公式時，設(shè)g（x）=x2-bx+1，若對任意x1∈（0，2]，都存在x2∈（0，2]，都存在x2∈[1，2]使f（x1）≤g（x2），求實數(shù)b的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)=(1-a)x-lnx-
a
x
-1(a∈R)
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=
3
4
時，設(shè)g（x）=x2-bx+1，若對任意x1∈（0，2]，都存在x2∈（0，2]，都存在x2∈[1，2]使f（x1）≤g（x2），求實數(shù)b的取值范圍．

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MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
)，|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）斜率為k的直線l與曲線C交于P、Q兩點，若
OP
•
OQ
=0（O為坐標(biāo)原點）．試求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（3）是否存在斜率為
1
2
的直線l與曲線C交于P、Q兩點，使得
OP
•
OQ
=0（O為坐標(biāo)原點），若存在求出直線l的方程，否則說明理由．

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