Question

1．在平面直角坐標系xoy中，已知圓C₁：x²+y²+6x-2y+6=0和圓C₂：x²+y²-8x-10y+37=0若直線l過點A（4，0），且被圓C₁截得的弦長為2$\sqrt{3}$，
（1）求直線l的方程
（2）求圓C₂上的點到直線l的最遠距離．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用l被⊙C₁截得的弦長為2$\sqrt{3}$，d=$\sqrt{4-3}$=1=$\frac{|1-k（-3-4）|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即可求直線l的方程
（2）分類討論，求圓C₂上的點到直線l的最遠距離．

解答 解：（1）∵圓C₁：x²+y²+6x-2y+6=0，即（x+3）²+（y-1）²=4，
由于直線x=4與圓C₁不相交；
∴直線l的斜率存在，設l方程為：y=k（x-4）
圓C₁的圓心到直線l的距離為d，
∵l被⊙C₁截得的弦長為2$\sqrt{3}$
∴d=$\sqrt{4-3}$=1=$\frac{|1-k（-3-4）|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
從而k（24k+7）=0，即k=0或k=-$\frac{7}{24}$
∴直線l的方程為：y=0或7x+24y-28=0
（2）∵圓C₂：（x-4）²+（y-5）²=4，
當直線l為y=0時：最遠距離為d=5+2=7，
當直線l為7x+24y-28=0時，最遠距離d=$\frac{|28+120-28|}{\sqrt{49+576}}$+2=$\frac{34}{5}$．

點評 本題考查直線方程，考查點到直線的距離公式，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．