Question

設函數(shù)f（x）定義在R上，f（0）≠0，且對于任意a，b∈R，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）．
（1）求證：f（x）為偶函數(shù)；
（2）若存在正數(shù)m使f（m）=0，求證：f（x）為周期函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）得到f（-x）=f（x），從而很容易得到函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）問題就是要證：存在T≠0，使f（x+T）=f（x）恒成立，可T為何值呢？T與 m又有何關系？不難發(fā)現(xiàn)一個特殊函數(shù)f（x）=cosx滿足題設條件，且cos0=1，而f(

π

2

)=0，又y=cosx為周期函數(shù)且周期為2π，它是

π

2

的4倍，于是猜想f（x）是以4m為周期的周期函數(shù)．故在條件式中令a=m，b=x，得到證明．

解答：解：（1）令a=b=0，得2f（0）=2f²（0）．
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
又令a=0，b=x，則f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
∴f（-x）=f（x），即f（x）為偶函數(shù)．
（2）問題就是要證：存在T≠0，使f（x+T）=f（x）恒成立，可T為何值呢？T與 m又有何關系？不難發(fā)現(xiàn)一個特殊函數(shù)f（x）=cosx滿足題設條件，且cos0=1，而f(

π

2

)=0，又y=cosx為周期函數(shù)且周期為2π，它是

π

2

的4倍，于是猜想f（x）是以4m為周期的周期函數(shù)．故在條件式中令
a=m，b=x，則f（m+x）+f（m-x）=2f（m）f（x）=0，故f（m+x）=-f（m-x）．
令x取m+x，則
f（2m+x）=-f（-x）=-f（x）．
∴f（4m+x）=-f（2m+x）=-（-f（x））=f（x），得證．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用．對抽象的問題或一般性難以解決的問題，不妨剖析一個特殊情形，進而可望從結論或方法上得到某種啟發(fā)，亦可構造一個滿足條件的特殊模型，從中發(fā)現(xiàn)寓于一般情形之中的隱含性質．