Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{（-1）}^n}sin\frac{πx}{2}+2n，\;x∈[{2n，2n+1}）}\\{{{（-1）}^{n+1}}sin\frac{πx}{2}+2n+2，\;x∈[{2n+1，2n+2}）}\end{array}}\right.$（n∈N），若數(shù)列{a_m}滿(mǎn)足${a_m}=f（m）\;（m∈{N^*}）$，數(shù)列{a_m}的前m項(xiàng)和為S_m，則S₁₀₅-S₉₆=909．

Answer 1

分析 由數(shù)列的求和和分段函數(shù)，得到S₁₀₄-S₉₆=a₉₇+a₉₈+a₉₉+a₁₀₀+a₁₀₁+a₁₀₂+a₁₀₃+a₁₀₄+a₁₀₅=f（97）+f（98）+f（99）+f（100）+f（101）+f（102）+f（103）+f（104）+f（105），再運(yùn)用誘導(dǎo)公式求出三角函數(shù)值，從而得到答案．

解答 解：∵S₁₀₅=a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₅，S₉₆=a₁+a₂+a₃+…+a₉₆，
∴S₁₀₅-S₉₆=a₉₇+a₉₈+a₉₉+a₁₀₀+a₁₀₁+a₁₀₂+a₁₀₃+a₁₀₄+a₁₀₅，
=f（97）+f（98）+f（99）+f（100）+f（101）+f（102）+f（103）+f（104）+f（105）
=[-sin（ $\frac{97π}{2}$）+2×48+2]+[sin（ $\frac{98π}{2}$）+2×49]+[-sin（ $\frac{99π}{2}$）+2×49+2]+[sin $\frac{100π}{2}$+2×50]+[-sin $\frac{101π}{2}$+2×50+2]+[sin $\frac{102π}{2}$+2×51]
+[-sin $\frac{103π}{2}$+2×51+2]+[sin $\frac{104π}{2}$+2×52]+[-sin$\frac{105π}{2}$+2×52+2]
=97+98+99+100+101+102+103+104+105
=$\frac{9（97+105）}{2}$
=909．
故答案為：909．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)及應(yīng)用，考查數(shù)列的求和，三角函數(shù)的求值，考查基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．