Question

1．如圖所示，已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC恰好是∠DAB的平分線，$\overrightarrow{DO}=2\overrightarrow{OB}$，∠DOC=2∠ODA，則∠DAB=60°．

Answer 1

分析 由題設(shè)可得OA=OD=2OB，設(shè)∠OAB=α，則∠AOB=2α，∠OBA=180°-3α，在△AOB中使用正弦定理解出α的值即可得出∠DAB．

解答 解：∵∠DOC=∠ODA+∠DAO=2∠ODA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴OA=OD，
∵$\overrightarrow{DO}=2\overrightarrow{OB}$，∴AO=2OB．
∵AC是∠DAB的平分線，
∴∠DAO=∠BAO，
設(shè)∠OAB=α，則∠DAO=∠ODA=α，∠AOB=2α，∠ABO=180°-3α，
在△AOB中，由正弦定理得$\frac{OB}{sinα}=\frac{OA}{sin（180°-3α）}$，
∴sin3α=2sinα，解得α=30°，
∴∠DAB=2α=60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．