Question

（理科）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=

π

2

，D，E分別是AB，BB₁的中點，且AC=BC=AA₁=2．
（1）求直線BC₁與A₁D所成角的大��；
（2）求直線A₁E與平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）分別以CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BC₁與A₁D所成角的大�。�
（2）求出平面A₁CD的一個法向量，利用向量法能求出直線A₁E與平面A₁CD所成角的正弦值．

解答： （本小題滿分14分）
（理）（1）解：分別以CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系．
則由題意可得：A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），
A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），
又∵D，E分別是AB，BB₁的中點，
∴D（1，1，0），E（0，2，1）．…（3分）
∴

BC1

=(0，-2，2)，

A1D

=(-1，1，-2)，
∴cos?

BC1

，

A1D

＞=

BC1 • A1D

| BC1 |•| A1D |

=

-6

2 2 × 6

=-

3

2

，…（7分）
∴直線BC₁與A₁D所成角的大小為

π

6

．…（8分）
（2）設(shè)平面A₁CD的一個法向量為

e

=(x，y，z)，
由

CA1 • e =0 CD • e =0

，得

2x+2z=0 x+y=0

，∴

e

=(1，-1，-1)，…（10分）
又∵

A1E

=(-2，2，-1)，
∴cos?

A1E

，

e

＞=

A1E • e

| A1E |．| e |

=

-3

3 ×3

=-

3

3

，…（13分）
∴直線A₁E與平面A₁CD所成角的正弦值為

3

3

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查異面直線所成角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．