Question

已知圓O的方程為x²+y²=13，直線l：x₀x+y₀y=13，設點A（x₀，y₀）．
（1）若點A為（3，4），試判斷直線l與圓C的位置關系；
（2）若點A在圓O上，且x₀=2，y₀＞0，過點A作直線AM，AN分別交圓O于M，N兩點，且直線AM和AN的斜率互為相反數．
①若直線AM過點O，求直線MN的斜率；
②試問：不論直線AM的斜率怎樣變化，直線MN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由點A在圓O外，求得圓心到直線的距離d小于半徑，可得直線和圓相交．
（2）由條件求得點A（2，3）．①若直線AM過點O，求得AM的斜率，可得AN的斜率kAN=-

3

2

，再利用兩條直線的夾角公式求得直線MN的斜率．
②由直線AM和AN的傾斜角互補，可得△AMN為等腰三角形，直線MN平行于x軸，故MN的斜率是0，為定值．

解答： 解：（1）當點A的坐標為（3，4）時，直線l的方程為3x+4y-13=0，
圓心到直線l的距離d=

13

32+42

=

13

5

＜

13

=r，
∴直線l與圓O相交．…（5分）
（2）①由點A在圓O上，且x₀=2，y₀＞0，得y₀=3，即A（2，3）．
由題意，AM是圓的直徑，所以點M的坐標為（-2，-3），且kAM=

3

2

．
又直線AM和AN的斜率互為相反數，所以kAN=-

3

2

…（7分）
直線AN的方程為y=-

3

2

x+6，由

y=- 3 2 x+6 x2+y2=13.

得：x2+(6-

3

2

x)2=13，
解得：x=2或x=

46

13

，所以N(

46

13

，

9

13

)
∴直線MN的斜率為kMN=

9 13 +3

46 13 +2

=

48 13

72 13

=

2

3

．…（10分）
②記直線AM的斜率為k，則直線AM的方程為：y=kx+3-2k．
將y=kx+3-2k代入圓O的方程得：x²+（kx+3-2k）²=13，
化簡得：（k²+1）x²+2k（3-2k）x+（3-2k）²-13=0，
∵2是方程的一個根，∴2xM=

(3-2k)2-13

k2+1

，∴xM=

2k2-6k-2

k2+1

，
由題意知：k_AN=-k，同理可得，xN=

2k2+6k-2

k2+1

，…（13分）
∴kMN=

yM-yN

xM-xN

=

kxM+3-2k-(-kxN+3+2k)

xM-xN

=k

xM+xN-4

xM-xN

，
∴kMN=k•

2k2-6k-2 k2+1 + 2k2+6k-2 k2+1 -4

2k2-6k-2 k2+1 - 2k2+6k-2 k2+1

=k•

-8 k2+1

-12k k2+1

=

2

3

，
∴不論直線AM的斜率怎樣變化，直線MN的斜率總為定值

2

3

．…（16分）

點評：本題主要考查點和圓的位置關系，直線和圓的位置關系，直線的傾斜角和斜率，兩條直線的夾角公式的應用，屬于Z中檔題．