Question

10．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F且斜率為1的直線與漸近線有且只有一個交點，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，所給直線應(yīng)與雙曲線的一條漸近線y=$\frac{a}$x平行，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵經(jīng)過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，
傾斜角為60°的直線與雙曲線有且只有一個交點，
∴根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，所給直線應(yīng)與雙曲線的一條漸近線y=$\frac{a}$x平行，
∴$\frac{a}$=1，∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=1$，
解得e²=2，∴離心率e=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運用．