正項等比數(shù)列{an}中，存在兩項am，an使得
am•an
=4a1，且a6=a5+2a4，則
1
m
+
4
n
最小值
 
．
考點：基本不等式,等比數(shù)列的通項公式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：利用等比數(shù)列的通項公式可得q，進(jìn)而點到m+n=6，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答： 解：設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q＞0．
∵
am•an
=4a1，且a6=a5+2a4，
∴
a1qm-1•a1qn-1
=4a1，a1q5=a1q4+2a1q3，
化為q
m+n-2
2
=4，q2-q-2=0，q＞0．
解得q=2，∴
m+n-2
2
=2，即m+n=6．
∴
1
m
+
4
n
=
1
6
(m+n)(
1
m
+
4
n
)=
1
6
(1+4+
n
m
+
4m
n
)≥
1
6
(5+2
n
m
•
4m
n
)=
3
2
，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=4時取等號．
∴
1
m
+
4
n
最小值為
3
2
．
故答案為：
3
2
．
點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
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．

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2
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