Question

對于函數(shù)f（x）=a-

2

bx+1

（a∈R，b＞0，且b≠1）
（1）探索函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）求實數(shù)a的值，使函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)；
（3）在（2）條件下，令b=2，求使f（x）=m（x∈[0，1]）有解的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運用單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號幾個步驟，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；
（2）運用奇函數(shù)的性質(zhì)：在定義域為R，f（0）=0，求出a，再由定義檢驗即可；
（3）求出x∈[0，1]，函數(shù)f（x）的值域，注意指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，
設(shè)m＜n，則f（m）-f（n）=（a-

2

bm+1

）-（a-

2

bn+1

）=

2(bm-bn)

(bm+1)(bn+1)

，
當(dāng)b＞1時，由m＜n則b^m＜bⁿ，b^m+1＞0，bⁿ+1＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即有f（x）在R上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜b＜1時，由m＜n則b^m＞bⁿ，b^m+1＞0，bⁿ+1＞0，
則f（m）-f（n）＞0，即有f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為R，由f（0）=0得a=1，
當(dāng)a=1時，f（x）=1-

2

bx+1

=

bx-1

bx+1

，
f（-x）=

b-x-1

b-x+1

=

1-bx

1+bx

=-f（x），
則a=1時f（x）為奇函數(shù)；
（3）f（x）=1-

2

2x+1

，由于0≤x≤1，
則1≤2^x≤2，2≤2^x+1≤3，

2

3

≤

2

1+2x

≤1，
即有0≤f（x）≤

1

3

，則有0≤m≤

1

3

，
則實數(shù)m的取值范圍是[0，

1

3

]．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷及應(yīng)用，考查運算能力，屬于中檔題．