Question

【題目】某會議共出席個人，其中每兩個人都恰好同其余個人相互問候過，對任何兩個人，同這兩個人都問候過的人數(shù)是相同的.問共有多少人出席會議?

Answer 1

【答案】36

【解析】

將人視為點(diǎn)，相識連線，毎點(diǎn)共組成個角，毎個角恰對應(yīng)一個頂點(diǎn)，因此圖中共有角個.另一方面，設(shè)毎兩個人，與該二人都相識的人有n個，因此對該二人對張n個角，毎角對應(yīng)惟一一個二人，對毎二人對張且僅張有n個角， 從這一角度說總角數(shù)為.

當(dāng)然有，整理得，其中n，k均為整數(shù).易見，沒n=3m，進(jìn)一步化簡得，即.當(dāng)時，，不可能為整數(shù).對于，

只有當(dāng)k=3時，取整數(shù)，因此只可能是36人.

下面構(gòu)造一個實(shí)例說明命題的情況存在.

如表R、O、Y、G、B、V表示6種顏色，將人染色，按上圖排布，毎人恰好認(rèn)識與他坐在同一行或同一列或與他具有相同顏色的人.這樣，保證了毎人恰認(rèn)識15個人，只需再證這種構(gòu)造滿足第二個條件即可.

設(shè)P、Q是任二個與會者，若他們坐在同一行，則與這兩人都認(rèn)識的人有這一行的其余4個人以及位于P所在列與Q同色的人，和位于Q所在列與P同色的人.當(dāng)P、Q同色或位于同列均可類似地分析.假定P和Q不同行，不同列，且具有不同的顏色，則二人共同認(rèn)識的6個人分別是:位于P所在的行和Q所在的列的1個人(與P、Q均不同色)，位于p所在列和Q所在行的1個人，位于p所在行和列且與Q同色的2個人，位于Q所在行和列且與p同色的2個人.