Question

2．已知f（x）=ax³+bx²+cx在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0]和[1，+∞）上是減函數(shù)，且f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由“f（x）在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0），（1，+∞）上是減函數(shù)”，則有f'（0）=f'（1）=0，再由f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$求解；
（2）首先將“f（x）≤x，x∈[0，m]成立”轉(zhuǎn)化為“x（2x-1）（x-1）≥0，x∈[0，m]成立”求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{3a+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{b=-\frac{3}{2}a}\end{array}\right.$，
∴f'（x）=3ax²-3ax，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3a}{4}$-$\frac{3a}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=-2，
∴f（x）=-2x³+3x²．
（2）由f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，
∴0≤x≤$\frac{1}{2}$或x≥1．
又f（x）≤x在區(qū)間[0，m]上恒成立，
∴0＜m≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查利用函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)值來求函數(shù)解析式及不等式恒成立問題．