Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

1

2

x2+bx+c．
（1）若f（x）有極值，求b的取值范圍；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，則f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=3x²-x+b．f（x）有極值?f′（x）=0由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?△=1-12b＞0，解得即可．
（2）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，則f（x）＜c²恒成立?f（x）_max＜c²，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）_max即可解出．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-x+b．令f′（x）=0，
由△=1-12b＞0，解得b＜

1

12

．
（2）∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，∴3-1+b=0，得b=-2．
∴f′（x）=3x²-x-2．
令f′（x）=0，得x1=-

2

3

，x2=1．
列表如下：

x	[-1，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當(dāng)x=-

2

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f(-

2

3

)=

22

27

+c，而區(qū)間端點(diǎn)處的f（2）=2+c，
∴函數(shù)f（x）的最大值為2+c．
∴2+c＜c²，解得c＞2或c＜-1． 
∴c的取值范圍是c＞2或c＜-1．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．