已知函數(shù)f（x）=[2sin（x+
π
3
）+sinx]cosx-
3
sin2x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若任意x∈[0，
5
12
π]，使不等式恒f（x）＞m成立，求實數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）利用兩角和的正弦公式和二倍角的三角函數(shù)公式，化簡整理得f（x）=2sin（2x+
π
3
），再由三角函數(shù)周期公式即可算出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)x∈[0，
5
12
π]時，f（x）的最小值為-1，而不等式f（x）＞m恒成立，說明m要小于f（x）的最小值，由此即得實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）f（x）=[2sin（x+
π
3
）+sinx]cosx-
3
sin2x
=（2sinx+
3
cosx）cosx-
3
×
1-cos2x
2

=sin2x+
3
×
1+cos2x
2
-
3
×
1-cos2x
2

=sin2x+
3
cos2x=2sin（2x+
π
3
）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為
2π
2
=π；
（2）∵0≤x≤
5π
12
，
∴
π
3
≤2x+
π
3
≤
7π
6
，可得sin（2x+
π
3
）∈[-
1
2
，1]
因此，f（x）=2sin（2x+
π
3
）的值域為[-1，2]
∵不等式恒f（x）＞m對于x∈[0，
5π
12
]恒成立，
∴m小于f（x）的最小值，可得m＜-1，
由此可得實數(shù)n的取值范圍是（-∞，-1）
點評：本題給出三角函數(shù)式，求函數(shù)的最小正周期和值域，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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