Question

8．已知函數(shù)$f（x）=2+\frac{4}{x}，g（x）={2^x}$．
（1）設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），求函數(shù)h（x）在區(qū)間[2，4]上的值域；
（2）定義min（p，q）表示p，q中較小者，設(shè)函數(shù)H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），
①求函數(shù)H（x）的單調(diào)區(qū)間及最值；
②若關(guān)于x的方程H（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x），g（x）的單調(diào)性，求出h（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的值域即可；
（2）①根據(jù)函數(shù)f（x），g（x）的圖象求出H（x）的最大值，②根據(jù)H（x）的范圍，求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，
故h（2）≤h（x）≤h（4），即0≤h（x）≤13，
所以函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的值域?yàn)閇0，13]．…（4分）
（2）①在同一坐標(biāo)系中，作出f（x），g（x）的圖象如圖所示，

根據(jù)題意得，H（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，0＜x≤2}\\{2+\frac{4}{x}，x＞2}\end{array}\right.$，
由（1）知，y=2^x在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，
$y=2+\frac{4}{x}$在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故H（x）_max=H（2）=4．
∴函數(shù)H（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2]，單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞），
H（x）有最大值4，無最小值．…••（8分）
②∵$f（x）=2+\frac{4}{x}$在[2，+∞）上單調(diào)遞減，∴$2＜2+\frac{4}{x}≤4$，
又g（x）=2^x在（0，2]上單調(diào)遞增，∴1＜2^x≤4，
∴要使方程H（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，
則需滿足2＜k＜4，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2，4）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、值域問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．