Question

現(xiàn)有甲、乙兩個容器，分別盛有濃度為10%、20%的某種飲料各500ml．實驗人員對它們進行調(diào)和試驗，調(diào)和操作程序是同時從甲、乙兩個容器中各取出100ml溶液，分別倒入對方容器中并充分攪拌均勻，稱為第一次調(diào)和；然后又同時從第一次調(diào)和后的甲、乙兩個容器中各取出100ml溶液分別倒入對方容器中并充分攪拌均勻，稱為第二次調(diào)和；…依照上述操作程序反復進行調(diào)和試驗，記第n-1（n∈N*）次調(diào)和后甲、乙兩個容器中飲料的濃度分別為a_n和b_n．
（1）試寫出a₁和b₁的值．（2）依據(jù)調(diào)和程序，試用n表示甲、乙兩個容器中兩種飲料的濃度的差b_n-a_n．（3）試求出第n-1（n∈N*）次調(diào)和后甲、乙兩個容器中飲料的濃度a_n、b_n關(guān)于n的表達式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)知條件知a₁=10%，b₁=20%．
（Ⅱ）由a_n=

400an-1+100bn-1

500

=

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1，b_n=

400bn-1+100an-1

500

=

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1．知b_n-a_n=（

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1）-（

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1）=

3

5

（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．由此能夠用n表示甲、乙兩個容器中兩種飲料的濃度的差b_n-a_n．
（Ⅲ）由b_n-a_n=

1

10

•(

3

5

)n-1和a_n+b_n=a_n-1+b_n-1═a₁+b₁=30%=

3

10

聯(lián)立能夠求出a_n和b_n．

解答：解：（Ⅰ）依題設(shè)，a₁=10%，b₁=20%．
（Ⅱ）∵a_n=

400an-1+100bn-1

500

=

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1，
b_n=

400bn-1+100an-1

500

=

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1．
∴b_n-a_n=（

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1）-（

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1）=

3

5

（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．
可知數(shù)列{b_n-a_n}為首項是b₁-a₁=10%，公比為

3

5

的等比數(shù)列，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）(

3

5

)n-1=10%(

3

5

)n-1=

1

10

•(

3

5

)n-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）b_n-a_n=

1

10

•(

3

5

)n-1①
又a_n+b_n=a_n-1+b_n-1═a₁+b₁=30%=

3

10

②
聯(lián)立①②得a_n=

3

20

-

1

20

•(

3

5

)n-1，b_n=

3

20

+

1

20

•(

3

5

)n-1．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答．