Question

數(shù)列{a_n}定義如下：a₁=1，且當(dāng)n≥2時(shí)，an=

a n 2 +1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 1 an-1 ，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

，已知an=

30

19

，求正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先判斷當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n＞1；當(dāng)n（n＞1）是奇數(shù)時(shí)，an=

1

an-1

＜1，由an=

30

19

＞1，結(jié)合an=

a n 2 +1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 1 an-1 ，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

，可得，a

n-110

128

=2-1=1，從而

n-110

128

=1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題設(shè)知，a_n＞0，n=1，2，…．
又由a₁=1，可得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n＞1；當(dāng)n（n＞1）是奇數(shù)時(shí)，an=

1

an-1

＜1．          …（4分）
由an=

30

19

＞1，所以n為偶數(shù)，于是a

n

2

=

30

19

-1=

11

19

＜1，
所以，

n

2

是奇數(shù)．
于是依次可得：a

n

2

-1=

19

11

＞1，

n

2

-1是偶數(shù)，a

n-2

4

=

19

11

-1=

8

11

＜1，

n-2

4

是奇數(shù)，
a

n-2

4

-1=

11

8

＞1，

n-6

4

是偶數(shù)，a

n-6

8

=

11

8

-1=

3

8

＜1，

n-6

8

是奇數(shù)，
a

n-6

8

-1=

8

3

＞1，

n-14

8

是偶數(shù)，a

n-14

16

=

8

3

-1=

5

3

＞1，

n-14

16

是偶數(shù)，
a

n-14

32

=

5

3

-1=

2

3

＜1，

n-14

32

是奇數(shù)，…（9分）a

n-14

32

-1=

3

2

＞1，

n-46

32

是偶數(shù)，a

n-46

64

=

3

2

-1=

1

2

＜1，

n-46

64

是奇數(shù)，a

n-46

64

-1=2＞1，

n-110

64

是偶數(shù)，a

n-110

128

=2-1=1，
所以，

n-110

128

=1，解得，n=238．                …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，用倒推的方式是解題的關(guān)鍵．