已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)和圓C2:x2+y2=r2(r>0)都過點(diǎn)P(-1,0),且橢圓C1離心率為
2
2
,過點(diǎn)P作斜率為k1,k2的直線分別交橢圓C1、圓C2于點(diǎn)A、B、C、D(如圖),k1=2k2
(1)求橢圓C1和圓C2的方程;
(2)求證:直線BC恒過定點(diǎn).
分析:(1)直接把定點(diǎn)代入圓的方程求圓的半徑,利用橢圓過定點(diǎn)得到a的值,代入離心率后求得c的值,結(jié)合b2=a2-c2求得b的值,則圓與橢圓的方程可求;
(2)設(shè)出直線AB和CD的方程,分別和圓與橢圓聯(lián)立后求出A,B,C,D的坐標(biāo),求出BC的斜率(用k2)表示,由點(diǎn)斜式寫出直線BC的方程后可得直線BC恒過定點(diǎn).
解答:(1)解:由圓C2:x2+y2=r2(r>0)過點(diǎn)P(-1,0),得到r2=1,
所以圓C2的方程為x2+y2=1.
由橢圓C1離心率為e=
c
a
=
2
2
,
由橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(diǎn)P(-1,0),得
1
a2
=1
,
所以a=1,代入
c
a
=
2
2
,得c=
2
2
,
所以b2=a2-c2=
1
2

所以橢圓C1的方程為x2+2y2=1;
(2)證明:由題意可設(shè)直線AB的方程為y=k1(x+1),直線CD的方程為y=k2(x+1).
x2+2y2=1
y=k1(x+1)
⇒(1+2
k
2
1
)x2+4k1x+2
k
2
1
-1=0,A(-1+
2
1+2
k
2
1
,
2k1
1+2
k
2
1
)

x2+y2=1
y=k1(x+1)
⇒(1+
k
2
1
)x2+2k1x+
k
2
1
-1=0,B(-1+
2
1+
k
2
1
,
2k1
1+
k
2
1
)

同理可得:C(-1+
2
1+2
k
2
2
,
2k2
1+2
k
2
2
),D(-1+
2
1+
k
2
2
,
2k2
1+
k
2
2
)
,
所以kBC=
2k2
1+2k22
-
2k1
1+2k12
-1+
2
1+2k22
+1-
2
1+2k12
,因?yàn)閗1=2k2,所以kBC=-
1
2k2
,
所以直線BC的方程為y-
2k2
1+k22
=-
1
2k2
(x+1-
2
1+k22
)

y=-
1
2k2
(x-1)
,恒過定點(diǎn)(1,0).
點(diǎn)評:本題考查了圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓錐曲線的關(guān)系問題,往往需要涉及繁雜的計(jì)算,這就需要學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力,屬難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,其中F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn),M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=
5
3

(1)求橢圓C1的方程;
(2)已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C在橢圓C1上,對角線BD所在的直線的斜率為1.
①當(dāng)直線BD過點(diǎn)(0,
1
7
)時(shí),求直線AC的方程;
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一條準(zhǔn)線方程是x=
25
4
,其左、右頂點(diǎn)分別是A、B;雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一條漸近線方程為3x-5y=0.
(1)求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率;
(2)在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P,連接AP交橢圓C1于點(diǎn)M,連接PB并延長交橢圓C1于點(diǎn)N,若
AM
=
MP
.求
MN
AB
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,直線l:y=x+2
2
與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程.
(Ⅱ)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,直線l1過點(diǎn)F1,且垂直于橢圓的長軸,動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦,垂足為右焦點(diǎn)F2,求四邊形ABCD的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2-
y2
4
=1有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn),若C1恰好將線段AB三等分,則b2=
0.5
0.5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•汕頭一模)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,右頂點(diǎn)為A,離心率e=
1
2

(1)設(shè)拋物線C2:y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F1,求橢圓的方程;
(2)設(shè)已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn),b是雙曲線C3在第一象限上任意-點(diǎn),問是否存在常數(shù)λ(λ>0),使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案