Question

已知是x，y軸正方向的單位向量，設(shè)，，且滿足
（1）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡E的方程．
（2）若直線l過點(diǎn)F₂（2，0）且法向量為=（t，1），直線與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)．點(diǎn)M（-1，0），無論直線l繞點(diǎn)F₂怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．并求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）條件“”可以看成是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為2，聯(lián)想雙曲線的定義解決“點(diǎn)P（x，y）的軌跡C”問題，即點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以（-2，0），（2，0）為焦點(diǎn)，2a=2的雙曲線，從而解決問題；
（2）設(shè)直線l的方程為y=-t（x-2），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得值，從而解決問題．
解答：解：（1）由條件“”知：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為2，是雙曲線，
故方程為，（（4分）+（1分）定義域）
（2）設(shè)直線l的方程為t（x-2）+y=0或y=-t（x-2）（1分）
由得（t²-3）x²-4t²x+4t²+3=0（1分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由條件得（只計(jì)算△=36+36t²＞01分）
解得t²＞3即（（1分）
=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂（1分）
=x₁x₂+x₁+x₂+1+t²（x₁-2）（x₂-2）（1分）
=（t²+1）x₁x₂-（2t²-1）（x₁+x₂）+1+4t²（1分）
==0（2分）．
點(diǎn)評(píng)：（1）平面向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及軌跡等問題的處理，目標(biāo)是將幾何問題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題；（2）直線l與點(diǎn)P的軌跡的交點(diǎn)問題，組成方程組解決．