Question

8．對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：

x	-2	-1	0	1	2	3	4	5
y	0	2	3	2	0	-1	0	2

（1）求f{f[f（0）]}；
（2）數(shù)列{x_n}滿足x₁=2，且對(duì)任意n∈N^*，點(diǎn)（x_n，x_n+1）都在函數(shù)y=f（x）的圖象上，求x₁+x₂+…+x_4n；
（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函數(shù)的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，由內(nèi)往外計(jì)算可得答案．
（2）根據(jù)點(diǎn)（x_n，x_n+1）都在函數(shù)y=f（x）的圖象上，帶入，化簡，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)y是周期函數(shù)，即可求解x₁+x₂+…+x_4n的值．
（3）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，帶入計(jì)算即可求解函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)：f{f[f（0）]}=f（f（3））=f（-1）=2．
（2）由題意，x₁=2，點(diǎn)（x_n，x_n+1）都在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
即x_n+1=f（x_n）
∴x₂=f（x₁）=f（2）=0，
x₃=f（x₂）=3，
x₄=f（x₃）=-1，
x₅=f（x₄）=2
∴x₅=x₁，
∴函數(shù)y是周期為4的函數(shù)，
故得：x₁+x₂+…+x_4n=4n．
（3）由題意得 $\left\{\begin{array}{l}f（-1）=2\begin{array}{l}{\;}…{（1）}\end{array}\\ f（1）=2\begin{array}{l}{\;}…{（2）}\end{array}\\ f（0）=3\begin{array}{l}{\;}…{（3）}\end{array}\\ f（2）=0\begin{array}{l}{\;}…{（4）}\end{array}\end{array}\right.$
由（1）-（2）∴sin（ω+φ）=sin（-ω+φ）∴sinωcosφ=0．
又∵0＜ω＜π
∴sinω≠0．
∴cosφ=0
而0＜φ＜π
∴$φ=\frac{π}{2}$
從而有$\left\{{\begin{array}{l}{A+b=3}\\{Acosω+b=2}\\{Acos2ω+b=0}\end{array}}\right.⇒b=3-A⇒\left\{{\begin{array}{l}{Acosω+3-A=2}\\{A（2{{cos}^2}ω-1）+3-A=0}\end{array}}\right.$．
∴2A²-4A+2-2A²+3A=0．
∴A=2．b=1$cosω=\frac{1}{2}$，
∵0＜ω＜π，
∴$ω=\frac{π}{3}$．
∴$f（x）=2cos\frac{π}{3}x+1$．
此函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{3}}$=6，
f（6）=f（0）=3
∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6，
∴①當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]=6k=3n．
②當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）-f（6k-2）-f（6k-1）-f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]-5=6k-5=3n-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，求出解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．