Question

13．已知圓C：（x-4）²+（y-3）²=4和兩點(diǎn)A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上至少存在一點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m的取值范圍是[3，7]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出圓C的圓心C與半徑r，設(shè)點(diǎn)P（a，b）在圓C上，表示出$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b）；利用∠APB=90°，求出m²，根據(jù)|OP|表示的幾何意義，得出m的取值范圍．

解答 解：∵圓C：（x-4）²+（y-3）²=4，
∴圓心C（4，3），半徑r=2；
設(shè)點(diǎn)P（a，b）在圓C上，則
$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b）；
∵∠APB=90°，
∴（a+m）（a-m）+b²=0；
即m²=a²+b²；
∴|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+2=7，最小值是|OC|-r=5-2=3；
∴m的取值范圍是[3，7]．
故答案為[3，7]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問題，是綜合性題目．