Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為S_n，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=21，S₄+b₄=30．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_nb_n，n∈N^*，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（1）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，得到首項(xiàng)和公比、公差的方程，求出數(shù)列的首項(xiàng)公比和公差，得到數(shù)列的通項(xiàng)；（2）本小題是一個(gè)等差與等比的積形成的數(shù)列，可以利用錯(cuò)位相減法求和．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q．
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，S₄=8+6d．…（3分）
由條件a₄+b₄=21，S₄+b₄=30，得方程組

2+3d+2q3=21 8+6d+2q3=30

解得

d=1 q=2

所以a_n=n+1，b_n=2ⁿ，n∈N*．
（2）由題意知，c_n=（n+1）×2ⁿ．
記T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n．
則T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，
2 T_n=2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹，
所以-T_n=2×2+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）×2ⁿ⁺¹，
即T_n=n•2ⁿ⁺¹，n∈N*．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，以及錯(cuò)位相減法求和，有一定的綜合性，計(jì)算量也較大，屬于中檔題．