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11.已知函數(shù)f(x)=1+x21x2
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)判定f(x)的奇偶性并證明;
(Ⅲ)用函數(shù)單調(diào)性定義證明:f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).

分析 (Ⅰ)根據(jù)函數(shù)成立的條件進(jìn)行求解即可.
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明.
(Ⅲ)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.

解答 解:(Ⅰ)由1-x2≠0,得x≠±1,即f(x)的定義域{x|x≠±1}…(4分);
(Ⅱ)f(x)為偶函數(shù).
∵f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(-x)=f(x)
∴f(x)為偶函數(shù);…(8分)
(III)證明:f(x)=1+x21x2=21x21x2=21x2-1,
設(shè)1<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=21x21-21x22
=2(x21x221x211x222x1x2x1+x21x11+x11x21+x2,
∵1<x1<x2,
∴x1-x2<0,1-x2<0,1-x1<0,
則f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
則函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)定義域,奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明,利用相應(yīng)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

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