Question

函數(shù)f（x）=2^x和g（x）=x³的圖象的示意圖如下圖所示．設兩個函數(shù)的圖象交于點A（x₁，y₁），B，₂，y₂）且x₁＜x₂．
（1）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，910，11，12}，指出a，b的值，并說明理由；
（2）結合函數(shù)圖象示意圖，請把f（6），g（6），f（2007），g（2007）四個數(shù)按從小到大的順序排列．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象特點，可得結論，令φ（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數(shù)φ（x）的零點，確定其所在區(qū)間，即可得出結論；
（2）從圖象上可以看出，當x₁＜x＜x₂時，f（x）＜g（x），當x＞x₂時，f（x）＞g（x），即可得出結論．

解答： 解：（1）C₁對應的函數(shù)為g（x）=x³，C₂對應的函數(shù)為f（x）=2^x．a=1，b=9．理由如下：
令φ（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數(shù)φ（x）的零點，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=-4＜0，φ（9）=2⁹-9³＜0，φ（10）=2¹⁰-10³＞0，
則方程φ（x）=f（x）-g（x）的兩個零點x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），
因此整數(shù)a=1，b=9．…（9分）
（2）從圖象上可以看出，當x₁＜x＜x₂時，f（x）＜g（x），
∴f（6）＜g（6）．
當x＞x₂時，f（x）＞g（x），∴g（2007）＜f（2007），
∵g（6）＜g（2007），
∴f（6）＜g（6）＜g（2007）＜f（2007）．

點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的零點，考查函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．