10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點(diǎn),點(diǎn)N在線段AD上.
(I)點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)時(shí),求證:直線PA∥BMN;
(II)若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{4}{5}$,求平面PBC與平面BMN所成角θ的余弦值.

分析 (Ⅰ)連結(jié)點(diǎn)AC,BN,交于點(diǎn)E,連結(jié)ME,推導(dǎo)出四邊形ABCN為正方形,由此能證明直線PA∥平面BMN.
(Ⅱ)分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由此能求出平面PBC與平面BMN所成角θ的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)連結(jié)點(diǎn)AC,BN,交于點(diǎn)E,連結(jié)ME,
∵點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn),AD=4,
∴AN=2,∵∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=2,
∴四邊形ABCN為正方形,∴E為AC的中點(diǎn),
∴ME∥PA,
∵PA?平面BMN,∴直線PA∥平面BMN.
解:(Ⅱ)∵PA⊥平面ABCD,且AB,AD?平面ABCD,
∴PA⊥AB,PA⊥AD,
∵∠BAD=90°,∴PA,AB,AD兩兩互相垂直,
分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則由AD=AP=4,AB=BC=2,得:
B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,4),
∵M(jìn)為PC的中點(diǎn),∴M(1,1,2),
設(shè)AN=λ,則N(0,λ,0),(0≤λ≤4),則$\overrightarrow{MN}$=(-1,λ-1,-2),
$\overrightarrow{BC}$=(0,2,0),$\overrightarrow{PB}$=(2,0,-4),
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=2x-4z=0}\end{array}\right.$,令x=2,得$\overrightarrow{m}$=(2,0,1),
∵直線MN與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{4}{5}$,
∴|cos<$\overrightarrow{MN},\overrightarrow{m}$>|=$\frac{|\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{5+(λ-1)^{2}}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$,
解得λ=1,則N(0,1,0),$\overrightarrow{BN}$=(-2,1,0),$\overrightarrow{BM}$=(-1,1,2),
設(shè)平面BMN的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=-x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}=-2x+y=0}\end{array}\right.$,
令x=2,得$\overrightarrow{n}$=(2,-4,3),
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{7}{\sqrt{5}•\sqrt{29}}$=$\frac{7\sqrt{145}}{145}$.
∴平面PBC與平面BMN所成角θ的余弦值為$\frac{7\sqrt{145}}{145}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查面面所成角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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