【題目】已知圓與軸相切于點(diǎn),且被軸所截得的弦長為,圓心在第一象限.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)是直線上的動點(diǎn),過作圓的切線,切點(diǎn)為,當(dāng)△的面積最小時,求切線的方程.
【答案】(I);(II)或.
【解析】
(Ⅰ)由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,1),則半徑為r=a(a>0),再由圓被x軸所截得的弦長為2,利用垂徑定理求得a=2,則圓C的方程可求;
(Ⅱ)P為直線l:2x+y+5=0上的動點(diǎn),過P作圓C的切線,切點(diǎn)為B,可知,要使△PBC的面積最小,則|PB|最小,也就是|PC|最小,此時CP⊥l,求出CP所在直線方程,與直線l聯(lián)立解得P(﹣2,﹣1),設(shè)切線方程為y+1=k(x+2),即kx﹣y+2k﹣1=0,再由圓心到切線的距離等于半徑求得k,則切線PB的方程可求.
解:(Ⅰ)依題意,可設(shè)圓心的坐標(biāo)為,其中,圓的半徑為,
因?yàn)閳A被軸所截得的弦長為,
又點(diǎn)到軸的距離為,
則,
解得.
所以圓的方程為.
(Ⅱ)因?yàn)椤?/span>的面積
.
故當(dāng)最小時,△的面積最小.
由于點(diǎn)是直線上的動點(diǎn),
則當(dāng)時,最小.
由于直線的斜率為,則直線的斜率為.
直線的方程為,即.
由解得
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)直線的方程為,即.
由于直線是圓的切線,
則點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑,即.
解得或.
所以切線的方程為或.
另法:(Ⅰ)依題意,可設(shè)圓心的坐標(biāo)為,其中,圓的半徑為,
則圓的方程為.
令,得
因?yàn)閳A被軸所截得的弦長為,
則,
解得.所以圓的方程為
(Ⅱ)因?yàn)椤?/span>的面積
.
故當(dāng)最小時,△的面積最小.
由于點(diǎn)是直線上的動點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則
.
當(dāng)時,取得最小值,此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)直線的方程為,即.
由于直線是圓的切線,
則點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑,即.
解得或.
所以切線的方程為或.
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【題目】已知點(diǎn)在拋物線上,則當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時,點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
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【題目】求滿足下列條件的橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)橢圓的焦點(diǎn)在軸上,焦距為4,且經(jīng)過點(diǎn);
(2)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,右焦點(diǎn)為,過作重直于軸的直線交雙曲線于,兩點(diǎn),且,離心率為.
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【題目】已知橢圓E:的焦距為2,一條準(zhǔn)線方程為x=,A,B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),點(diǎn)P,Q在的橢圓上,且點(diǎn)P在第一象限.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P,Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,且PQ⊥AB,求四邊形ABCD的面積;
(3)若AP,BQ的斜率互為相反數(shù),求證:PQ斜率為定值.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代一部重要的數(shù)學(xué)著作,書中有如下問題:“今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊.齊去長安三千里,良馬初日行一百九十三里,日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里.良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬,問幾何日相逢.”其大意為:“現(xiàn)在有良馬和駑馬同時從長安出發(fā)到齊去,已知長安和齊的距離是3000里,良馬第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,駑馬第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良馬到齊后,立刻返回去迎駑馬,多少天后兩馬相遇.”試確定離開長安后的第天,兩馬相逢.
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【題目】已知直線 ,若圓上恰好存在兩個點(diǎn) ,,他們到直線 的距離為 ,則稱該圓為“完美型”圓.則下列圓中是“完美型”圓的是
A. B.
C. D.
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