分析 (1)由橢圓過(guò)點(diǎn)(√52,√32),離心率為2√55,列出方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1.
(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),l:x=52,AB1與A1B的交點(diǎn)是(94,0);當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB為y=k(x-2),由{y=k(x−2)x2+5y2=5,得:(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,利用韋達(dá)定理、直線方程,結(jié)合已知條件求出直線AB1與A1B過(guò)定點(diǎn)(94,0).
解答 解:(1)∵橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(√52,√32),離心率為2√55.
∴由題意得{a2=b2+c254a2+34b2=1ca=2√55,解得{a=√5b=1c=2,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1.
(2)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),準(zhǔn)線l:x=52,AB1與A1B的交點(diǎn)是(94,0);
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB為y=k(x-2),
由{y=k(x−2)x2+5y2=5,消去y,整理得:(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,
∴x1+x2=20k21+5k2,x1x2=20k2−51+5k2,
設(shè)A(52,y1),B(52,y2),則lAB1:y=y2−y152−x1(x−52)+y2,①,
lA1B:y=y2−y1x2−52(x−52)+y1,②,
聯(lián)立①②解得:x=x1x2−254x1+x2−5=20k2−51+5k2−25420k21+5k2−5=−45(1+k2)−20(1+k2)=94,
代入①,得:
y=k(x2−x1)−10+4x1+y2=−9k(x1+x2)+4kx2x1+20k4x1−10=−9k•20k21+5k2+4k•20k2−51+5k24x1−10=0,
綜上,直線AB1與A1B過(guò)定點(diǎn)(94,0).
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程求法,考查考查兩直線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)的判斷與求法,考查橢圓、韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | 1 | B. | \sqrt{2} | C. | 2 | D. | 4 |
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A. | 2n+1 | B. | 3n | C. | \frac{{n}^{2}+2n}{2} | D. | \frac{{n}^{2}+3n+2}{2} |
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