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7.平面直角坐標(biāo)系中,橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0過(guò)點(diǎn)5232,離心率為255
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)K(2,0)作一直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B點(diǎn)作橢圓右準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A1,B1,試問(wèn)直線AB1與A1B的交點(diǎn)是否為定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)由橢圓過(guò)點(diǎn)5232,離心率為255,列出方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1
(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),lx=52AB1與A1B的交點(diǎn)是940;當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB為y=k(x-2),由{y=kx2x2+5y2=5,得:(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,利用韋達(dá)定理、直線方程,結(jié)合已知條件求出直線AB1與A1B過(guò)定點(diǎn)940

解答 解:(1)∵橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0過(guò)點(diǎn)5232,離心率為255
∴由題意得{a2=b2+c254a2+34b2=1ca=255{a=5b=1c=2
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1
(2)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),準(zhǔn)線lx=52AB1與A1B的交點(diǎn)是940;
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB為y=k(x-2),
{y=kx2x2+5y2=5,消去y,整理得:(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,
x1+x2=20k21+5k2x1x2=20k251+5k2,
設(shè)A52y1B52y2,則lAB1y=y2y152x1x52+y2,①,
lA1By=y2y1x252x52+y1,②,
聯(lián)立①②解得:x=x1x2254x1+x25=20k251+5k225420k21+5k25=451+k2201+k2=94,
代入①,得:
y=kx2x110+4x1+y2=9kx1+x2+4kx2x1+20k4x110=9k20k21+5k2+4k20k251+5k24x110=0,
綜上,直線AB1與A1B過(guò)定點(diǎn)940

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程求法,考查考查兩直線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)的判斷與求法,考查橢圓、韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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