分析 (1)圓心到直線x+y+1=0的距離d=|c+1|√2=a,由橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,知b=c,由此能求出橢圓方程.
(2)當直線l的斜率不存在時,可得t=0;當直線l的斜率存在時,t≠0,設直線l方程為y=kx+2,設P(x0,y0),將直線方程代入橢圓方程得:(k2+2)x2+4kx+2=0,由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識,結合已知條件能求出實數(shù)t的取值范圍.
解答 解:(1)由題意,以橢圓C的上焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為x2+(y-c)2=a2,
∴圓心到直線x+y+1=0的距離d=|c+1|√2=a
∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,
∴b=c,a=√2b=√2c,代入得b=c=1,∴a=√2b=√2,
故所求橢圓方程為y22+x2=1…(4分)
(2)當直線l的斜率不存在時,可得t=0,適合題意.…(5分)
當直線l的斜率存在時,t≠0,設直線l方程為y=kx+2,設P(x0,y0),
將直線方程代入橢圓方程得:(k2+2)x2+4kx+2=0,…(6分)
∴△=16k2-8(k2+2)=8k2-16>0,∴k2>2.
設S(x1,y1),T(x2,y2),則x1+x2=−4kk2+2,x1x2=2k2+2,…(7分)
由→OS+→OT=t→OP,
當t≠0,得{tx0=x1+x2=−4kk2+2ty0=k(x1+x2)+4=8k2+2…(8分)
整理得:t2=16k2+2,由k2>2知,0<t2<4,…(10分)
所以t∈(-2,0)∪(0,2),…(11分)
綜上可得t∈(-2,2).…(12分)
點評 本題考查橢圓方程求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、向量知識等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (1,2) | B. | (2,+∞) | C. | (-∞,1) | D. | (-∞,1)和(2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 程序不同結果不同 | B. | 程序相同,結果相同 | ||
C. | 程序相同結果不同 | D. | 程序不同,結果相同 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | rhr+h | B. | 2rhr+h | C. | 2rh√2h+2r | D. | 2rh√2r+h |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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