Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
16.已知橢圓y2a2+x2b2=1ab0的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,直線x+y+1=0與以橢圓C的上焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設P為橢圓C上一點,若過點M(0,2)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點S和T,滿足OS+OT=tOP(O為坐標原點),求實數(shù)t的取值范圍.

分析 (1)圓心到直線x+y+1=0的距離d=|c+1|2=a,由橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,知b=c,由此能求出橢圓方程.
(2)當直線l的斜率不存在時,可得t=0;當直線l的斜率存在時,t≠0,設直線l方程為y=kx+2,設P(x0,y0),將直線方程代入橢圓方程得:(k2+2)x2+4kx+2=0,由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識,結合已知條件能求出實數(shù)t的取值范圍.

解答 解:(1)由題意,以橢圓C的上焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為x2+(y-c)2=a2,
∴圓心到直線x+y+1=0的距離d=|c+1|2=a
∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,
∴b=c,a=2b=2c,代入得b=c=1,∴a=2b=2,
故所求橢圓方程為y22+x2=1…(4分)
(2)當直線l的斜率不存在時,可得t=0,適合題意.…(5分)
當直線l的斜率存在時,t≠0,設直線l方程為y=kx+2,設P(x0,y0),
將直線方程代入橢圓方程得:(k2+2)x2+4kx+2=0,…(6分)
∴△=16k2-8(k2+2)=8k2-16>0,∴k2>2.
設S(x1,y1),T(x2,y2),則x1+x2=4kk2+2x1x2=2k2+2,…(7分)
OS+OT=tOP,
當t≠0,得{tx0=x1+x2=4kk2+2ty0=kx1+x2+4=8k2+2…(8分)
整理得:t2=16k2+2,由k2>2知,0<t2<4,…(10分)
所以t∈(-2,0)∪(0,2),…(11分)
綜上可得t∈(-2,2).…(12分)

點評 本題考查橢圓方程求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、向量知識等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

12.函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x+1的單調(diào)減區(qū)間是( �。�
A.(1,2)B.(2,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1)和(2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.平面直角坐標系中,橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0過點5232,離心率為255
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過點K(2,0)作一直線與橢圓C交于A,B兩點,過A,B點作橢圓右準線的垂線,垂足分別為A1,B1,試問直線AB1與A1B的交點是否為定點,若是,求出定點的坐標;若不是,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

4.讀程序

對甲乙兩程序和輸出結果判斷正確的是( �。�
A.程序不同結果不同B.程序相同,結果相同
C.程序相同結果不同D.程序不同,結果相同

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

11.圓錐的底面半徑為r,高是h,在這個圓錐內(nèi)部有一個內(nèi)接正方體,則此正方體的棱長等于(  )
A.rhr+hB.2rhr+hC.2rh2h+2rD.2rh2r+h

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

1.已知三條直線l1:ax-y+a=0,l2:x+ay-a(a+1)=0,l3:(a+1)x-y+a+1=0,a>0.
(1)證明:這三條直線共有三個不同的交點;
(2)求這三條直線圍成的三角形的面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為63,且經(jīng)過點M(-3,-1).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:x-y-2=0與橢圓C交于A,B兩點,點P為橢圓C上一動點,當△PAB的面積最大時,求點P的坐標及△PAB的最大面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

5.已知函數(shù)g(x)=x2+bx+c,且關于x的不等式g(x)<0的解集為(-79,0).
(1)求實數(shù)b,c的值;
(2)若不等式0≤g(x)-2n2n+1229對于任意n∈N*恒成立,求滿足條件的實數(shù)x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

6.已知數(shù)列{an}中,a1=2,an=an-1-12(n≥2),則數(shù)列{an}的前12項和為-9.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案