Question

如圖，已知四邊形是正方形，平面，，，,,分別為,,的中點(diǎn).              

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn),使平面？

若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

  

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為,分別為，的中點(diǎn)，

所以.

又因為平面，平面，

所以平面.    

（Ⅱ）因為平面，所以.

又因為，，

所以平面.

由已知,分別為線段,的中點(diǎn)，

所以.

則平面.

而平面，

所以平面平面.  

（Ⅲ）在線段上存在一點(diǎn)，使平面.證明如下：

   在直角三角形中，因為,,所以.

在直角梯形中，因為，,所以，

所以.又因為為的中點(diǎn)，所以.

要使平面，只需使.

因為平面，所以，又因為，,

所以平面，而平面，所以.

若，則∽,可得.

由已知可求得，，，所以.