Question

等差數(shù)列{a_n}的首項和公差都是

2

3

，記{a_n}前n項和為S_n．等比數(shù)列{b_n}各項均為正數(shù)，公比為q，記{b_n}的前n項和為T_n．
（Ⅰ） 寫出S_i（i=1，2，3，4，5）構(gòu)成的集合A；
（Ⅱ） 若q為正整數(shù)，問是否存在大于1的正整數(shù)k，使得T_k，T_2k同時為集合A中的元素？若存在，寫出所有符合條件的{b_n}的通項公式；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ） 若將S_n中的整數(shù)項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{c_n}，求{c_n}的一個通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接代入等差數(shù)列的求和公式得到S_n．再把n=1，2，3，4，5分別代入即可求出集合A；
（Ⅱ）由于{b_n}的前n項和為T_n．故應(yīng)分類討論，然后利用T_k，T_2k同時為集合A中的元素進行求解；
（Ⅲ）∵Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

2

3

×[n+

n(n-1)

2

]=

n(n+1)

3

．S_n中的整數(shù)項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{c_n}，∴n=3k或n+1=3k（k∈Z），故可求．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

2

3

×[n+

n(n-1)

2

]=

n(n+1)

3

．
把n=1，2，3，4，5分別代入．
∴A={

2

3

，2，4，

20

3

，10}．
（Ⅱ）當q=1時，T_k=kb₁，T_2k=2kb₁；
所以T_2k=2T_k；
∵T_k，T_2k同時為集合A中的元素，
∴T_k=2，T_2k=4⇒kb₁=2，
∴b₁=

2

k

，
∴b_n=

2

k

；
當q≠1時，T_k=

b1(1-qk)

1-q

，T_2k=

b1(1-q2k)

1-q

；

T2k

Tk

=1+q^k，∵q為正整數(shù)，正整數(shù)k大于1．
∴當T_k=

2

3

時，T_2k=

20

3

，得到q^k=9⇒q=3，k=2⇒T_k=T₂=b₁（1+q）=b₁×4=

2

3

⇒b₁=

1

6

，故bn=

1

6

×3n-1=

1

2

×3^n-2；
當T_k=2時，T_2k=10，得到q^k=4⇒q=2，k=2⇒T_k=T₂=b₁（1+q）=b₁×3=2⇒b₁=

2

3

，b_n=

2

3

×2^n-1=

1

3

×2ⁿ；
當T_k=4，Tk=

20

3

，T_k=10時，找不到滿足條件的{b_n}．
（Ⅲ）Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

2

3

×[n+

n(n-1)

2

]=

n(n+1)

3

．
∵S_n中的整數(shù)項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{c_n}，∴n=3k或n+1=3k（k∈Z），
故可求c_n=n（3n+1），或c_n=n（3n-1）．

點評：本題的考點是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，關(guān)鍵是理解題意，合理轉(zhuǎn)化．