Question

某校有甲、乙兩個研究性學習小組，兩組的人數如下：

組別 性別	甲	乙
男	5	3
女	7	3

現采用分層抽樣的方法，從甲、乙兩組中共抽取3名同學進行展示交流．
（1）求從甲組抽取的同學中恰有1名女同學的概率；
（2）記X為抽取的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由分層抽樣知甲組應抽取2人，利用古典概型的概率計算公式能求出從甲組中抽取的同學中恰有1名女同學的概率．
（2）由題設知X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和數學期望．

解答： 解：（1）∵抽取比例f=

3

5+7+3+3

=

1

6

，
∴從甲組中抽取人數=

1

6

×(5+7)=2，
從乙組中抽取人數=

1

6

(3+3)=1，
則從甲組中抽取的同學中恰有1名女同學的概率：
p=

C 1 5 C 1 7

C 2 12

=

5×7

6×11

=

35

66

．
（2）由題設知X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 2 5

C 2 12

•

C 1 3

C 1 6

=

5

66

，
P（X=1）=

C 1 5 C 1 7

C 2 12

•

C 1 3

C 1 6

+

C 2 5

C 2 12

•

C 1 3

C 1 6

=

15

44

，
P（X=2）=

C 2 7

C 2 12

•

C 1 3

C 1 6

+

C 1 5 C 1 7

C 2 12

•

C 1 3

C 1 6

=

14

33

，
P（X=3）=

C 2 7

C 2 12

•

C 1 3

C 1 6

=

7

44

．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	5 66	15 44	14 33	7 44

EX=0×

5

66

+1×

15

44

+2×

14

33

+3×

7

44

=

5

3

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．