Question

7．如圖，異面直線AB，CD互相垂直，CF是它們的公垂線段，且F為AB的中點，作DE$\stackrel{∥}{=}$CF，連接AC，BD，G為BD的中點，AB=AC=AE=BE=2．
（1）在平面ABE內(nèi)是否存在一點H，使得AC∥GH？若存在，求出點k所在的位置，若不存在，請說明理由；
（2）求二面角A-DB-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)存在H使得AC∥GH，取BE的中點M，連結(jié)GM，MH，EF，則可證EF⊥平面GMH，BE⊥平面GMH，于是過點E有兩條直線與平面GMH垂直，得出矛盾．
（2）以F為原點，F(xiàn)E為x軸，F(xiàn)A為y軸，F(xiàn)C為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-DB-E的余弦值．

解答 解：（1）平面ABE內(nèi)不存在一點H，使得AC∥GH．
證明：反證法．
假設(shè)平面ABE內(nèi)存在一點H，使得AC∥GH，取BE的中點M，連結(jié)GM，MH，EF．
∵DE$\underset{∥}{=}$CF，CD⊥CF，∴四邊形EFCD是矩形，
∴EF⊥CF，又EF⊥AB，EF?平面ABE，AB?平面ABE，EF∩AB=F，
∴CF⊥平面ABE，
∵AB=AE=BE，F(xiàn)是AB的中點，
∴EF⊥AB，又AB?平面ACF，CF?平面ACF，AB∩CF=F，
∴EF⊥平面ACF，∵AC?平面ACF，
∴EF⊥AC．∵AC∥GH，
∴EF⊥GH，
∵G，M分別是BD，BE的中點，∴GM∥ED，
又DE∥CF，∴GM∥CF，
∴GM⊥平面ABE，∵EF?平面ABE，
∴GM⊥EF，又GH?平面GMH，GM?平面GMH，GM∩GH=G，
∴EF⊥平面GMH，∵M(jìn)H?平面GMH，
∴EF⊥MH，
∵△ABE是等邊三角形，M，F(xiàn)是BE，AB的中點，
∴H在線段AM上．
∴MH⊥BE，又GM⊥平面ABE，BE?平面ABE，
∴GM⊥BE．又GM?平面GMH，MH?平面GMH，GM∩GH=G，
∴BE⊥平面GMH．
于是過E點有兩條直線BE，EF都與平面GMH垂直，而這是不可能的．
∴平面ABE內(nèi)不存在一點H，使得AC∥GH．
（2）連結(jié)DF，過C作CN⊥DF，
∵AB⊥CF，AB⊥CD，CD?平面CDF，CF?平面CDF，CD∩CF=C，
∴AB⊥平面CDF，∵CN?平面CDF，
∴AB⊥CN，又CN⊥DF，AB?平面ABD，DF?平面ABD，AB∩DF=F，
∴CN⊥平面ABD．
∵AB=AE=AC=BE=2，∴DE=CF=$\sqrt{A{C}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，CD=EF=$\sqrt{3}$，
∴DF=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{6}$．∴CN=$\frac{CD•CF}{DF}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
以F為原點，F(xiàn)E為x軸，F(xiàn)A為y軸，F(xiàn)C為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，1，0），B（0，-1，0），D（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），E（$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{DB}$=（-$\sqrt{3}$，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DA}$=（-$\sqrt{3}$，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DE}$=（0，0，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面ADB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=-\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=-\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
設(shè)平面EDB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=-\sqrt{3}a-b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-3，0），
設(shè)二面角A-DB-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴二面角A-DB-E的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．