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某商場對A品牌的商品進行了市場調查,預計2012年從1月起前x個月顧客對A品牌的商品的需求總量P(x)件與月份x的近似關系是:P(x)=
1
2
x(x+1)(41-2x)(x≤12且x∈N*
(1)寫出第x月的需求量f(x)的表達式;
(2)若第x月的銷售量g(x)=
f(x)-21x,1≤x<7且x∈N*
x2
ex
(
1
3
x
2
-10x+96),7≤x≤12且x∈N*
(單位:件),每件利潤q(x)元與月份x的近似關系為:q(x)=
10ex
x
,問:該商場銷售A品牌商品,預計第幾月的月利潤達到最大值?月利潤最大值是多少?(e6≈403)
考點:函數模型的選擇與應用
專題:應用題,函數的性質及應用,導數的綜合應用
分析:(1)由P(x)=
1
2
x(x+1)(41-2x)取x=1求出f(1),再結合f(x)=P(x)-P(x-1)求得x≥2時的f(x),則第x月的需求量f(x)的表達式可求;
(2)設月利潤為h(x),由h(x)=q(x)g(x)求得h(x)的解析式,分別求導后利用單調性求得函數在不同區(qū)間內的最大值,比較后得答案.
解答: 解:(1)當x=1時,f(1)=P(1)=39;
當x≥2時,f(x)=P(x)-P(x-1)=
1
2
x(x+1)(41-2x)-
1
2
(x-1)x(43-2x)=3x(14-x).
∴f(x)=-3x2+42x(x≤12且x∈N*);
(2)設月利潤為h(x),則h(x)=q(x)g(x)=
30ex(7-x),1≤x≤7且x∈N*
10
3
x3-100x2+960x,7≤x≤12且x∈N*
,
∴h′(x)=
30ex(6-x),1≤x≤7且x∈N*
10(x-8)(x-12),7≤x≤12且x∈N*

∴當1≤x≤6時,h′(x)≥0,當6<x<7時,h′(x)<0,
∴h(x)在x∈[1,6]上單調遞增,在(6,7)上單調遞減,
∴當1≤x<7且x∈N*時,h(x)max=h(6)=30e6≈12090;
∵當7≤x≤8時,h′(x)≥0,當8≤x≤12時,h′(x)≤0,
∴h(x)在x∈[7,8]上單調遞增,在(8,12)上單調遞減,
∴當7≤x≤12且x∈N*時,h(x)max=h(8)≈2987<12090.
綜上,預計該商場第6個月的月利潤達到最大,最大利潤約為12090元.
點評:本題考查了函數模型的選擇及應用,考查了利用導數求函數的最值,訓練了數學建模思想方法,是中檔題.
練習冊系列答案
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2
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3
,底面周長為3,那么這個球的表面積為
 

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