【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx(ω>0),f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為
(1)求f( )的值;
(2)將f(x)的圖象上所有點向左平移m(m>0)個長度單位,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,若y=g(x)圖象的一個對稱中心為( ,0),當m取得最小值時,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】
(1)解:由題意可得:f(x)=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx

=﹣(cos2ωx﹣sin2ωx)+ sin2ωx

= sin2ωx﹣cos2ωx

=2sin(2ωx﹣

∵f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為

∴周期T= ,由 = ,可得ω=2.

∴f(x)=2sin(4x﹣ ),

∴f( )=2sin(4× )=2sin =1


(2)解:由(1)可知f(x)=2sin(4x﹣ ),則g(x)=2sin(4x+4m﹣ ),

∵( ,0)為y=g(x)圖象的一個對稱中心,

∴2sin(4× +4m﹣ )=0,解得:4× +4m﹣ =kπ(k∈Z),可得:m= ,

當k=1時,m取得最小值

此時g(x)=2sin(4x+ ),

由2k ≤4x+ ≤2k ,k∈Z,解得g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:[ + ],k∈Z


【解析】(1)由三角函數(shù)恒等變換的應用可求函數(shù)解析式f(x)=2sin(2ωx﹣ ),由題意可求周期T= ,由周期公式可求ω,從而可得函數(shù)解析式,進而得解.(2)由(1)可求g(x)=2sin(4x+4m﹣ ),由題意可得4× +4m﹣ =kπ(k∈Z),可得:m= ,可求m的最小值,由2k ≤4x+ ≤2k ,k∈Z,解得g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的相關(guān)知識點,需要掌握圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數(shù)的圖象才能正確解答此題.

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