Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c，其圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），且滿足f（1﹣x）=f（1+x）．

（1）求f（x）；

（2）設(shè) ，m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；

（3）設(shè)h（x）=lnf（x），若對于一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=x2﹣2x+1；（2）

（3）實(shí)數(shù)t的取值范圍是﹣1＜t＜0.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)截距和對稱軸得出b，c的值，得出f（x）的解析式；

（2）作出g（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出結(jié)論；

（3）化簡h（x）解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出關(guān)于t的恒等式，從而求出t的范圍．

試題解析：

（1）∵圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），∴c=1，

∵f（1﹣x）=f（1+x），

∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，∴b=﹣2，

∴f（x）=x2﹣2x+1，

（2）∵f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴，

作出g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

當(dāng)0＜m≤時(shí)，gmax（x）=g（m）=m﹣m2，

當(dāng)＜m≤時(shí)，gmax（x）=g（）=，

當(dāng)m＞時(shí)，gmax（x）=g（m）=m2﹣m，

綜上， ．

（3）h（x）=2ln|x﹣1|，

所以h（x+1﹣t）=2ln|x﹣t|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，

當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|2x+1|=2x+1，

所以不等式等價(jià)于0＜|x﹣t|＜2x+1恒成立，

解得﹣x﹣1＜t＜3x+1，且x≠t，

由x∈[0，1]，得﹣x﹣1∈[﹣2，﹣1]，3x+1∈[1，4]，

所以﹣1＜t＜1，

又x≠t，∵t[0，1]，

∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是﹣1＜t＜0．